时间序列分析：一般线性过程
1. 定义 一般线性过程 $\{X_t\}$ 可以表示为现在和过去白噪声变量的加权线性组合，令 $\{e_t\}$ 表示未观测到的白噪声序列，即一系列均值为零、方差为 $\sigma_e^2$ 的独立同分布的随即变量），则 \begin{equation} X_t = e_t + \psi_1 e_{t-1} + \psi_2 e_{t-2} + \cdots …
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时间序列分析：随机游走
1. 定义 令 $\{e_t\}$ 是均值为 $\mu$，方差为 $\sigma_e^2$ 的白噪声，如果 \begin{equation} X_t = X_{t-1} + e_t \tag{1} \end{equation} 则称 $X_t$ 为随机游走（Random Walk）。 式 $(1)$ 也可以使用延迟算子表示为 \begin{equation} X_t = B…
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时间序列分析：白噪声
1. 定义 白噪声过程指的是独立同分布的随机变量 $\{e_t\}$，具有均值 $\mu$（通常定义 $\mu = 0$） 和 方差 $\sigma^2$，记为 $e_t \sim \mathrm{wn}(\mu, \sigma^2)$。如果白噪声的分布是均值为 $0$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，即 $e_t \overset{\mathrm{iid}}{\si…
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时间序列分析：延迟算子和差分算子
1. 延迟算子 延迟算子（Backshift Operator）也称为滞后算子（Lag Operator），记为 $B$，作用于时间序列的时间指标上，将时间向后倒退一个时间单位，形成一个新的序列。特别地，定义 \begin{equation} BY_t = Y_{t – 1} \tag{1} \end{equation} 延迟算子是线性计算，对于任何常数 $a, b, c$ 和…
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应用时间序列分析（3）趋势
1. 确定趋势与随机趋势 平稳时间序列的均值函数是时域上的常数，而一般时间序列的均值函数可能是任意的时间函数。均值函数体现了时间序列的趋势，趋势可能是难以琢磨的。例如随机游动在任意时间上都有零均值，在相邻时点上具有很强的正相关，且随机过程的方差随时间的增加而增加，由此会带来表面上的趋势；而对同样的过程进行反复模拟，则可能会得到完全不同的“趋势”。这样的趋势称为随机趋势。 趋势有时也会具有某…
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应用时间序列分析（2）平稳性及典型时间序列示例
1. 平稳性 根据观测记录对随机过程的结构进行统计推断时，通常必须对其作出某些简化且大致合理的假设，其中最重要的假设是平稳性。平稳性的基本思想是，决定过程特性的统计规律不随时间的变化而改变。从一定意义上说，过程位于统计的平衡点上。特别地，如果对一切时滞 $k$ 和点 $t_1, t_2, \cdots, t_n$，都有 $Y_{t_1}, Y_{t_2}, \cdots, Y_{t_n}$ 与…
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应用时间序列分析（1）基本概念
本系列为《时间序列分析及应用 R 语言》一书的整理。 1. 时间序列与随机过程 随机变量序列 $\{Y_t: t = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots \}$ 称为一个随机过程，以之作为观测时间序列的模型。该过程的完整概率结构是由所有 $Y$ 的有限联合分布构成的分布族决定的。联合分布中的大部分信息可以用过均值、方差和协方差来描述，无需直接处理这些多…
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数理统计 Cheat Sheet 15：检验假设问题的 p 值法
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知，$\sigma^2 = 100$，现有样本 $x_1, x_2, \cdots, x_{52}$，算得 $\overline x = 62.75$，现在来检验假设 \begin{equation} H_0: \mu \leq \mu_0 = 60, \quad H_1: \mu > 60 \end{equation}…
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数理统计 Cheat Sheet 14：正态总体方差的假设检验
1. 单个总体的情况 1.1. 双边检验 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu, \sigma^2$ 均未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本。要求检验假设（显著性水平 $\alpha$，其中 $\sigma_0^2$ 为已知常数） \begin{equation} H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2, \…
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数理统计 Cheat Sheet 13：正态总体均值的假设检验
1. 单个总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 均值 $\mu$ 的检验 1.1. $\sigma^2$ 已知，关于 $\mu$ 的检验（$Z$ 检验） 前文 已经给出正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 当 $\sigma^2$ 已知时关于 $\mu$ 的检验问题。此时使用统计量 \begin{equation} Z = \frac{\overline X – \…
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