Monthly Archive: 12月 2018

　　如果一个方阵 $A$ 相似于对角阵，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，有 $A = PDP^{-1}$，则称 $A$ 可对角化。 　　定理 5（对角化定理）$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件时 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。事实上，$A = PDP^{-1}$，$D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无…
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1. 行列式 　　设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$U$ 是对 $A$ 作行替换和行交换（不做行倍乘）所得到的任一阶梯型矩阵，$r$ 是行交换的次数，那么 $A$ 的行列式 $\det A = (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn}$。如果 $A$ 可逆，那么 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 都是主元（因为 $A \sim I_n$ 且 $u_{ii}…
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　　尽管变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 有可能使向量往各个方向移动，但通常会有某些特殊向量，$A$ 对这些向量的作用是简单的。 　　定义　$A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$\boldsymbol x$ 为非零向量，若存在数 $\lambda$ 使 $A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x$ 有…
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　　马尔可夫链习惯上用来描述用用一种方法进行多次实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果仅依赖于最近的前一次测试。 　　一个具有非负元素且各元素的数值相加等于 $1$ 的向量称为概率向量。随机矩阵是各列向量均为概率向量的方阵。马尔可夫链是一个概率向量序列 $\boldsymbol x_0, \boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2, \cdo…
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　　设 $\mathbb{S}$ 是数的双向无穷序列空间： \begin{equation} {y_k} = (\cdots, y_{-2}, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \cdots) \end{equation} 若 $\{z_k\}$ 是 $\mathbb{S}$ 中的另一个元素，则和 $\{y_k\} + \{z…
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　　对一个 $n$ 维向量空间 $V$，当一个基 $\mathcal{B}$ 取定后，与之相关的映上到 $\mathbb{R}^n$ 的坐标映射对 $V$ 提供了一个坐标系。$V$ 的每个向量 $\boldsymbol x$ 由它的 $\mathbb{R}^-$ 坐标向量 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 唯一取定。 　　定理 15　设 $\mathc…
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　　设想一个填充满随机数的 $40 \times 50$ 矩阵 $A$，$A$ 中线性无关列的最大个数和 $A^\mathsf{T}$ 中线性无关列的最大个数（$A$ 中线性无关行的最大个数）是相同的，这个公共值是矩阵 $A$ 的秩。 　　若 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的每一行具有 $n$ 个元素，可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量，其行向量的所有线…
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