概率论 Cheat Sheet 2：概率论公理

Author: nex3z 2018-12-23

1. 样本空间和事件

　　对于一个试验，假设所有可能的结果是一致的，则所有可能结果构成的集合称为该试验的样本空间（Sample Space），记为 $S$。

　　样本空间的任意子集 $E$ 称为事件（Event），事件是由试验的某些可能结果组成的一个集合。如果试验的结果包含在 $E$ 里面，就称事件 $E$ 发生了。

　　对于用一个样本空间 $S$ 的任意两个事件 $E$ 和 $F$，定义一个新的事件 $E \bigcup F$，由或在 $E$ 中，或在 $F$ 中，或既在 $E$ 中又在 $F$ 中的结果组成。如果事件 $E$ 或 $F$ 至少有一个发生，那么 $E \bigcup F$ 就发生。$E \bigcup F$ 称为事件 $E$ 和事件 $F$ 的并（Union）。

　　类似地，任意两个事件 $E$ 和 $F$，定义 $EF$（有时也记作 $E \bigcap F$），由 $E$ 和 $F$ 的公共元素组成，称为 $E$ 和 $F$ 的交（Intersection）。事件 $EF$ 发生当且仅当 $E$ 和 $F$ 同时发生。

　　不可能发生的事件称为不可能事件，记为 $\varnothing$。如果 $EF = \varnothing$，则称 $E$ 和 $F$ 是互不相容的（Mutually Exclusive）。

　　类似地，可以定义两个以上事件地并和交。设 $E_1, E_2, \cdots$ 是一系列事件，这些事件地并记为 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n$，表示至少包含在某一个 $E_n$ 中的所有结果所构成的事件。这些事件地交记为 $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}E_n$，表示包含在所有 $E_n$ 中的所有结果构成的事件。

　　对于任意事件 $E$，定义 $E$ 的补，表示包含在样本空间中但不包含在 $E$ 中的所有结果构成的事件，记作 $E^c$。$E^c$ 发生当且仅当 $E$ 不发生。样本空间 $S$ 的补 $S^c = \varnothing$。

　　对于任意两个事件 $E$ 和 $F$，如果 $E$ 中的所有结果都在 $F$ 中，那么称 $E$ 包含于 $F$ 或者 $E$ 是 $F$ 的子集，记为 $E \subset F$（或者 $F \supset E$，也可以称 $F$ 是 $E$ 的一个超集）。如果 $E \subset F$，那么 $E$ 发生就表示 $F$ 发生。如果 $E \subset F$ 且 $F \subset E$，那么 $E$ 和 $F$ 是相等的，记为 $E = F$。

　　事件的并、交和补遵循类似代数里的一些运算法则：

• 交换律：$E \bigcup F = F \bigcup E$，$EF = FE$
• 结合律：$(E \bigcup F) \bigcup G = E \bigcup (F \bigcup G)$，$(EF)G = E(FG)$
• 分配率：$(E \bigcup F)G = EG \bigcup FG$，$EF \bigcup G = (E \bigcup G)(F \bigcup G)$

　　德摩根律（De Morgan Law）揭示了并、交、补三个基本运算之间的重要关系：

$$\begin{equation} \bigg( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i\bigg)^c = \bigcap\limits_{i=1}^{n} E_i^c \qquad \bigg( \bigcap\limits_{i=1}^{n} E_i\bigg)^c = \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i^c \end{equation}$$

2. 概率论公理

　　定义事件发生概率的一种方法是使用事件发生的相对概率：假设有一个样本空间为 $S$ 的试验，它在相同条件下可重复执行，对于样本空间 $S$ 中的事件 $E$，记 $n(E)$ 为 $n$ 次重复试验中事件 $E$ 发生的次数，那么该事件发生的概率 $P(E)$ 定义为：

$$\begin{equation} P(E) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(E)}{n} \end{equation}$$

即定义概率 $P(E)$ 为 $E$ 发生的次数占试验总次数的比例的极限，也就是 $E$ 发生频率的极限。虽然这个定义很直观，但却有一个严重的问题：我们无法确定 $n(E) / n$ 会收敛到一个固定的常数。该定义的成立，基于 $n(E) / n$ 会趋于某常数极限值的假设。

　　特别地，我们假定对于样本空间中的任一事件 $E$，都存在一个值 $P(E)$（即事件 $E$ 的概率），并假定这些概率值符合一些列公理。假设某个试验的样本空间为 $S$，对其中的某一事件 $E$，定义一个数 $P(E)$，它满足如下三个公理：

　　概率的三个公理

• 公理 1

$$\begin{equation} 0 \leq P(E) \leq 1 \end{equation}$$

• 公理 2

$$\begin{equation} P(S) = 1 \end{equation}$$

• 公理 3　对任一列互不相容的事件 $E_1, E_2, \cdots$（即如果 $i \neq j$，则 $E_i E_j = \varnothing$），有

$$\begin{equation} P(\bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i) = \sum_{i = 1}^{\infty}P(E_i) \end{equation}$$

　　公理 1 说明任何事件 $E$ 的概率在 $0$ 到 $1$ 之间。公理 2 说明 $S$ 作为必然发生的事件，其概率定义为 $1$。公理 3 说明对任一列互不相容事件，至少有一事件发生的概率等于各事件发生的概率之和。

　　设 $E_1, E_2, \cdots$ 为一特殊的事件序列，其中 $E_1 = S_1$，$E_i = \varnothing$（$i > 1$），因为各个事件不相容，且 $S = \bigcap\limits_{i = 1}^{\infty}E_i$，由公理 3 有

$$\begin{equation} P(S) = \sum_{i = 1}^{\infty}P(E_i) = P(S) + \sum_{i = 2}^{\infty}P(\varnothing) \end{equation}$$

可得

$$\begin{equation} P(\varnothing) = 0 \end{equation}$$

即空事件发生的概率为 $0$。

　　对于有限个互不相容的事件 $E_1, E_2, \cdots, E_n$，在定理 3 中令所有 $E_i$（$i > n$）为空事件，可得

$$\begin{equation} P(\bigcup_{i = 1}^{n} E_i) = \sum_{i = 1}^{n}P(E_i) \end{equation}$$

　　设 $P(E)$ 是定义在样本空间中的事件上的集函数，若它满足上述三个公理，则 $P(E)$ 就是事件 $E$ 的概率。这一定义是现代概率论的数学基础。进一步地，利用这些公理可以证明，随着试验的不断重复，事件 $E$ 发生的频率以概率 $1$ 趋近 $P(E)$（强大数定律）。

3. 几个简单命题

　　命题 1

$$\begin{equation} P(E^c) = 1 – P(E) \end{equation}$$

　　$E$ 和 $E^c$ 总是不相容的，且 $E \bigcup E^c = S$，由公理 2 和公理 3，可得

$$\begin{equation} 1 = P(S) = P(E \bigcup E^c) = P(E) + P(E^c) \end{equation}$$

故有命题 1 成立。

　　命题 2　如果 $E \subset F$，那么 $P(E) \leq P(F)$。

　　对于 $E \subset F$，可将 $F$ 表示为 $F = E \bigcup E^c F$，由公理 3，有 $P(F) = P(E) + P(E^c F)$，而 $P(E^c F) \leq 0$，故有命题 2 成立。

　　命题 3

$$\begin{equation} P(E \bigcup F) = P(E) + P(F) – P(EF) \end{equation}$$

　　$E \bigcup F$ 可以表示为两个不相容事件 $E$ 和 $E^c F$ 的并，有

$$\begin{equation} P(E \bigcup F) = P(E \bigcup E^c F)= P(E) + P(E^c F) \end{equation}$$

　　$F$ 可以表示为两个不相容事件 $EF$ 和 $E^cF$ 的并，有

$$\begin{equation} P(F) = P(EF \bigcup E^c F) = P(EF) + P(E^c F) \end{equation}$$

等价地，有

$$\begin{equation} P(E^cF) = P(F) – P(EF) \end{equation}$$

　　将上式带入前面 $P(E \bigcup F)$ 的计算，得到

$$\begin{equation} P(E \bigcup F) = P(E) + P(F) – P(EF) \end{equation}$$

故命题 3 成立。

　　进一步地，可以计算三个事件 $E, F, G$ 之中至少发生一个的概率为

$$\begin{align} P(E \bigcup F \bigcup G) &= P\big((E \bigcup F) \bigcup G\big) = P(E \bigcup F) + P(G) – P\big((E \bigcup F)G\big) \\ &= P(E) + P(F) – P(EF) + P(G) – P(EG \bigcup FG) \\ &= P(E) + P(F) – P(EF) + P(G) – P(EG) – P(FG) + P(EGFG) \\ &= P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EFG) \end{align}$$

　　命题 4　容斥恒等式（Inclusion-Exclusion Indentity）

$$\begin{align} P(E_1 \bigcup E_2 \bigcup \cdots \bigcup E_n) = &\sum_{i = 1}^n P(E_i) – \sum_{i_1 < i_2} P(E_{i_1} E_{i_2}) + \cdots + \\ &(-1)^{r + 1} \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_r}P(E_{i_1} E_{i_2} \cdots E_{i_r}) + \cdots + \\ &(-1)^{n + 1} P(E_1 E_2) \cdots E_n) \end{align}$$

其中，$\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_r}P(E_{i_1} E_{i_2}) \cdots E_{i_r}))$ 表示对一切下标集合 $\{i_1, i_2, \cdots, i_r\}$ 所对应的值求和，和项一共包含 $\binom{n}{r}$ 项。

　　命题 4 说明，$n$ 个事件并的概率，等于这些事件独自发生的概率之和，减去两个事件同时发生的概率之和，加上三个事件同时发生的概率之和······

4. 等可能结果的样本空间

　　很多试验中的一个自然的假设是，样本空间中的所有结果发生的可能性都是一样的。考虑这样一个试验，其样本空间 $S$ 是有限集，设 $S = \{1, 2, \cdots, N\}$，那么就经常会自然地假设

$$\begin{equation} P(\{1\}) = P(\{2\}) = \cdots = P(\{N\}) \end{equation}$$

由公理 2 和公理 3，有

$$\begin{equation} P(\{i\}) = \frac{1}{N} \qquad i = 1, 2, \cdots, N \end{equation}$$

再由公理 3，可得对于任何事件 $E$，有

$$\begin{equation} P(E) = \frac{E 中的结果数\;\;\;\;\;\;}{S 中的结果数\;\;\;\;\;\;} \end{equation}$$

也就是说，如果假定一次试验的所有结果都是等可能发生的，那么任何事件 $E$ 发生的概率等于 $E$ 中所含有的结果数占样本空间中的所有结果数的比例。

　　当一个试验是从 $n$ 个物品的集合中随机选取 $k$ 个物品时，可以认为选取物品时有顺序的，也可以认为是没有顺序的，由二者得到的事件发生的概率是相同的。例如一个碗里面有 6 个白球和 5 个黑球，随机从中取出 3 个球，计算恰好取出 1 个白球和 2 个黑球的概率。如果认为取球是有顺序的，则样本空间包含 $\binom{11}{3}3! = 990$ 种结果，所求事件有 $\binom{6}{1}\binom{5}{2}3! = 360$，所求概率为 $360/990 = 4/11$。另一方面，如果认为取球是没有顺序的，则样本空间包含 $\binom{11}{3} = 330$ 种结果，所求事件有 $\binom{6}{1}\binom{5}{2} = 60$ 种结果，所求概率为 $60/165 = 4/11$。

5. 概率：连续集函数

　　事件序列 $\{E_n, n\geq 1\}$ 如果满足

$$\begin{equation} E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset E_{n+1} \subset \cdots \end{equation}$$

则称该序列为递增序列，此时定义一个新的事件 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} E_n$ 如下：

$$\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcup_{i = 1}^\infty E_i \end{equation}$$

　　反之，事件序列 $\{E_n, n\geq 1\}$ 如果满足

$$\begin{equation} E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset E_{n+1} \supset \cdots \end{equation}$$

则称该序列为递减序列，此时定义事件 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} E_n$ 如下：

$$\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{i = 1}^\infty E_i \end{equation}$$

6. 概率：确信程度的度量

　　一个事件的概率，是指在重复进行某个试验的情况下，对该事件发生频率的一种度量。此外，概率也可以作为人们对自己的说法的确信程度的一种度量，概率作为个体确信程度的度量经常被称为主观（Subjective）概率。无论是把概率解释为确信程度的度量，还是事件发生的频率，其数学属性都没变。