线性代数 Cheat Sheet 7-2：二次型
Rn 上的一个二次型是一个定义在 Rn 上的函数，它在向量 \boldsymbol x 处的值可由表达式 Q(x) = \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x 计算，其中 A 是一个 n \times n 矩阵。矩阵 A 称为关于二次型的矩阵。
在某些情况下，二次型对应的矩阵是对角矩阵时，会更容易使用。非对角线项可用过适当的变量代换消去。
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1. 二次型的变量代换
如果 \boldsymbol x 表示 \mathbb{R}^n 中的向量变量，那么变量代换是下面形式的等式：
\begin{equation} \boldsymbol x = P \boldsymbol y \; 或 \; \boldsymbol y = P^{-1}\boldsymbol x \tag{1} \end{equation}
其中 P 是可逆矩阵且 \boldsymbol y 是 \mathbb{R}^n 中的一个新的向量变量。这里 P 的列可确定 \mathbb{R}^n 的一个基，\boldsymbol y 是相对于该基的向量 \boldsymbol x 的坐标向量。
如果用变量代换 (1) 处理二次型 \boldsymbol x ^\mathsf{T} A \boldsymbol x，那么
\begin{equation} \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x = (P\boldsymbol y)^\mathsf{T} A P\boldsymbol y = \boldsymbol y^\mathsf{T}P^\mathsf{T} A P\boldsymbol y = y^\mathsf{T} (P^\mathsf{T} A P)\boldsymbol y \tag{2} \end{equation}
且新的二次型矩阵是 P^\mathsf{T} A P。因为 A 是对称的，由定理 2，存在正交矩阵 P，使得 P^\mathsf{T} A P 是对称矩阵 D，(2) 中的二次型变为 \boldsymbol y ^\mathsf{T} D \boldsymbol y。
定理 4（主轴定理）设 A 是一个 n \times n 对称矩阵，那么存在一个正交变量代换 \boldsymbol x = P \boldsymbol y，它将二次型 \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x 变换为不含交叉乘积项的二次型 \boldsymbol y ^\mathsf{T} D \boldsymbol y。
定理中矩阵 P 的列称为二次型 \boldsymbol x = P \boldsymbol y 的主轴，向量 \boldsymbol y 是向量 \boldsymbol x 在由这些主轴构造的 \mathbb{R}^n 空间的单位正交基下的坐标向量。
2. 二次型的分类
定义 一个二次型 Q 是：
a. 正定的，如果对所有 \boldsymbol x \neq 0，有 Q(\boldsymbol x) > 0。
b. 负定的，如果对所有 \boldsymbol x \neq 0，有 Q(\boldsymbol x) < 0。
c. 不定的，如果 Q(\boldsymbol x) 既有正值又有负值。
此外，对所有 \boldsymbol x，如果 Q(\boldsymbol x) \geq 0，则称 Q 是半正定的；如果 Q(\boldsymbol x) \leq 0，则称 Q 是半负定的。
定理 5（二次型与特征值）设 A 是 n \times n 对称矩阵，那么一个二次型 \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x 是：
a. 正定的，当且仅当 A 的所有特征值是正数。
b. 负定的，当且仅当 A 的所有特征值是负数。
c. 不定的，当且仅当 A 既有正特征值，又有负特征值。
利用二次型的分类，相应的得到矩阵的形式分类。一个正定矩阵 A 是一个对称矩阵，二次型 \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x 是正定的。其他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可类似定义。