线性代数 Cheat Sheet 7-2：二次型

Author: nex3z 2018-12-16

　　$\mathbb{R}^n$ 上的一个二次型是一个定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数，它在向量 $\boldsymbol x$ 处的值可由表达式 $Q(x) = \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x$ 计算，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵。

　　在某些情况下，二次型对应的矩阵是对角矩阵时，会更容易使用。非对角线项可用过适当的变量代换消去。

1. 二次型的变量代换

　　如果 $\boldsymbol x$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的向量变量，那么变量代换是下面形式的等式：

$$\begin{equation} \boldsymbol x = P \boldsymbol y \; 或 \; \boldsymbol y = P^{-1}\boldsymbol x \tag{1} \end{equation}$$

其中 $P$ 是可逆矩阵且 $\boldsymbol y$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个新的向量变量。这里 $P$ 的列可确定 $\mathbb{R}^n$ 的一个基，$\boldsymbol y$ 是相对于该基的向量 $\boldsymbol x$ 的坐标向量。

　　如果用变量代换 $(1)$ 处理二次型 $\boldsymbol x ^\mathsf{T} A \boldsymbol x$，那么

$$\begin{equation} \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x = (P\boldsymbol y)^\mathsf{T} A P\boldsymbol y = \boldsymbol y^\mathsf{T}P^\mathsf{T} A P\boldsymbol y = y^\mathsf{T} (P^\mathsf{T} A P)\boldsymbol y \tag{2} \end{equation}$$

且新的二次型矩阵是 $P^\mathsf{T} A P$。因为 $A$ 是对称的，由定理 2，存在正交矩阵 $P$，使得 $P^\mathsf{T} A P$ 是对称矩阵 $D$，$(2)$ 中的二次型变为 $\boldsymbol y ^\mathsf{T} D \boldsymbol y$。

　　定理 4（主轴定理）设 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵，那么存在一个正交变量代换 $\boldsymbol x = P \boldsymbol y$，它将二次型 $\boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x$ 变换为不含交叉乘积项的二次型 $\boldsymbol y ^\mathsf{T} D \boldsymbol y$。

　　定理中矩阵 $P$ 的列称为二次型 $\boldsymbol x = P \boldsymbol y$ 的主轴，向量 $\boldsymbol y$ 是向量 $\boldsymbol x$ 在由这些主轴构造的 $\mathbb{R}^n$ 空间的单位正交基下的坐标向量。

2. 二次型的分类

　　定义　一个二次型 $Q$ 是：
a. 正定的，如果对所有 $\boldsymbol x \neq 0$，有 $Q(\boldsymbol x) > 0$。
b. 负定的，如果对所有 $\boldsymbol x \neq 0$，有 $Q(\boldsymbol x) < 0$。
c. 不定的，如果 $Q(\boldsymbol x)$ 既有正值又有负值。

　　此外，对所有 $\boldsymbol x$，如果 $Q(\boldsymbol x) \geq 0$，则称 $Q$ 是半正定的；如果 $Q(\boldsymbol x) \leq 0$，则称 $Q$ 是半负定的。

　　定理 5（二次型与特征值）设 $A$ 是 $n \times n$ 对称矩阵，那么一个二次型 $\boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x$ 是：
a. 正定的，当且仅当 $A$ 的所有特征值是正数。
b. 负定的，当且仅当 $A$ 的所有特征值是负数。
c. 不定的，当且仅当 $A$ 既有正特征值，又有负特征值。

　　利用二次型的分类，相应的得到矩阵的形式分类。一个正定矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，二次型 $\boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x$ 是正定的。其他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可类似定义。