Processing math: 3%

线性代数 Cheat Sheet 6-7：內积空间

Author: 2018-12-15

Math

　　定义　向量空间 V 上的內积是一个函数，对每一对属于 V 的向量 \boldsymbol u 和 \boldsymbol v，存在一个实数 \langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle，满足下面公理，其中 \boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w 属于 V，c 为任意数：
1. \langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle = \langle\boldsymbol v, \boldsymbol u\rangle
2. \langle\boldsymbol u + \boldsymbol v, \boldsymbol w\rangle = \langle\boldsymbol u, \boldsymbol w\rangle + \langle\boldsymbol v, \boldsymbol w\rangle
3. \langle c\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle = c\langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle
4. \langle\boldsymbol u, \boldsymbol u\rangle \geq 0 且 \langle\boldsymbol u, \boldsymbol u\rangle = 0 的充分必要条件是 \boldsymbol u = 0
一个赋予上面內积的向量空间称为內积空间。

　　具有标准內积的向量空间 \mathbb{R}^n 是一个內积空间。

1. 长度、距离和正交性

　　设 V 是一个內积空间，其內积记作 \langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle。像 \mathbb{R}^n 中一样，我们定义一个向量 \boldsymbol v 的长度或范数为数

\begin{equation} \lVert \boldsymbol v \rVert = \sqrt{\langle\boldsymbol v, \boldsymbol v\rangle} \end{equation}

即 \lVert \boldsymbol v \rVert^2 = \langle\boldsymbol v, \boldsymbol v\rangle（这个定义有意义，因为 \langle\boldsymbol v, \boldsymbol v\rangle \geq 0，但这个定义并不是说 \langle\boldsymbol v, \boldsymbol v\rangle 是一个“平方之和”，因为 \boldsymbol v 不必是 \mathbb{R}^n 中元素）。

　　一个单位向量是长度为 1 的向量，向量 \boldsymbol u 和 \boldsymbol v 之间的距离是 \lVert \boldsymbol u – \boldsymbol v \rVert。如果 \langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle = 0 成立，则向量 \boldsymbol u 和向量 \boldsymbol v 正交。

2. 格拉姆-施密特方法

　　內积空间中有限维子空间的正交基的存在性可由格拉姆-施密特方法确定，像 \mathbb{R}^n 空间一样，应用中经常出现的一些正交基问题可用这个方法构造。

　　一个向量在一个具有正交基的子空间 W 上的正交投影可像平常一样构造。投影不依赖于正交基的选取，并且它们有正交分解定理和最佳逼近定理中所描述的性质。

3. 內积空间的最佳逼近

　　应用数学中最常见的问题设计元素是函数的向量空间，主要是在 V 的特定子空间 W 中选取函数 g 来逼近 V 中的函数 f。对 f 的“逼近”成都依赖于 \lVert f – g \rVert 定义的方式，仅考虑 f 和 g 的距离用內积定义确定的情形，此时，f 由 W 中函数的最佳逼近是指 f 在子空间 W 上的正交投影。

4. 两个不等式

　　给定內积空间 V 中的向量 \boldsymbol v 和有限维子空间 W，将勾股定理应用到 \boldsymbol v 关于 W 的正交分解中，可以得到

\begin{equation} \lVert \boldsymbol v \rVert^2 = \lVert \mathrm{Proj}_W \boldsymbol v \rVert^2 + \lVert \boldsymbol v – \mathrm{Proj}_W \boldsymbol v \rVert^2 \end{equation}

特别地，这表明 \boldsymbol v 到 W 上投影的范数不超过 \boldsymbol v 自身的范数。

　　定理 16（柯西-施瓦茨不等式）对 V 中任意向量 \boldsymbol u 和 \boldsymbol v，有

\begin{equation} |\langle\boldsymbol u, \boldsymbol v\rangle| \leq \lVert \boldsymbol u \rVert \lVert \boldsymbol v \rVert \end{equation}

　　定理 17（三角不等式）对属于 V 中的所有向量 \boldsymbol u, \boldsymbol v，有

\begin{equation} \lVert \boldsymbol u + \boldsymbol v \rVert \leq \lVert \boldsymbol u \rVert + \lVert \boldsymbol v \rVert \end{equation}