线性代数 Cheat Sheet 6-1：內积、长度和正交性

Author: 2018-12-09

Math

1. 內积

　　如果 u 和 v 是 Rn 中的向量，则可以将 u 和 v 作为 n×1 矩阵。转置 u 是 1×n 矩阵，且矩阵乘积 uTv 是一个 1×1 矩阵，将其记为一个不加括号的实数（标量）。数 uTv 称为 u 和 v 的內积（或点积），通常记作 u⋅v。如果

u=[u1u2⋮un],v=[v1v2⋮vn]

那么 u 和 v 的內积的定义为

[u1u2⋯un][v1v2⋮vn]=u1v1+u2v2+⋯+unvn

　　定理 1　设 v,u,w 是 Rn 中的向量，c 是一个数，那么
a. u⋅v=v⋅u
b. (u+v)⋅w=u⋅w+v⋅w
c. (cu)⋅v=u⋅(cv)
d. u⋅u≥0，并且 u⋅u=0 成立的充分必要条件时 u=0

　　性质 b 和 c 可以合并为以下法则：

(c1u1+⋯+cpup)⋅w=c1(u1⋅w1)+⋯+cp(up⋅wp)

2. 向量的长度

　　定义　向量 v 的长度（或范数）是非负数 ‖v‖，定义为

‖v‖=√v⋅v=√v21+v22+⋯+v2n且‖v‖2=v⋅v

　　假若 v 是 R2 中的向量，比如 v=[ab]，如果将 v 与平面上的几何点 (a,b) 相对应，那么 ‖v‖ 和平面内原点到 v 的线段长度一致。类似长方体对角线长度的计算，三维空间中向量 v 的长度和通常意义下的长度概念是一致的。

　　对任意数 c，向量 cv 的长度等于 |c| 乘以 v 的长度，即

‖cv‖=|c|‖v‖

　　长度为 1 的向量称为单位向量。如果把一个非零向量除以其自身的长度，即乘以 1‖v‖，就可以得到一个单位向量，即 u=v‖v‖。这种把向量 v 化成单位向量 u 的过程，称为向量 v 的单位化，此时 u 和 v 方向一致。

3. Rn 中的距离

　　定义　Rn 中向量 u 和 v 之间的距离记作 dist(u,v)，表示向量 u–v 的长度，即

dist(u,v)=‖u–v‖

　　在 R2 和 R3 中，距离的定义和欧几里得空间中两点的距离公式一致。

4. 正交向量

　　考虑 R2 或 R3 中通过原点且由向量 u 和 v 确定的两条直线，这两条直线几何上垂直当且仅当从 u 到 v 的距离与从 u 到 −v 的距离相等，这等同与要求它们距离的平方要相等。由

[dist(u,v)]2=‖u–v‖2=(u–v)⋅(u–v)=u⋅u+u⋅v+v⋅u+v⋅v=‖u‖2+‖v‖2+2u⋅v[dist(u,−v)]2=‖u–(−v)‖2=‖u‖2+‖v‖2–2u⋅v

两个距离平方相等的充分必要条件时 2u⋅v=−2u⋅v 或 u⋅v=0。

　　定义　对于 Rn 中的两个向量 u 和 v，如果 u⋅v=0，则称 u 和 v 是（相互）正交的。

　　0T⋅v=0 对任意 v 都成立，可以得出零向量与 Rn 中任意向量正交。

　　定理 2（毕达哥拉斯（勾股）定理）两个向量 u 和 v 正交的充分必要条件时 ‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2。

5. 正交补

　　如果向量 z 与 Rn 的子空间 W 中的任意向量都正交，则称 z 正交于 W。与子空间 W 正交的向量 z 的全体组成的集合称为 W 的正交补，并记作 W⊥（W⊥ 读作 W 正交补）。

　　若 W 是 Rn 的子空间，则
1. 向量 x 属于 W⊥ 的充分必要条件时向量 x 与生成空间 W 的任一向量都正交。
2. W⊥ 是 Rn 的子空间。

　　定理 3　假设 A 是 m×n 矩阵，那么 A 的行空间的正交补是 A 的零空间，且 A 的列空间的正交补是 AT 的零空间：

(RowA)⊥=NulA且(ColA)⊥=NulAT

6. R2 和 R3 中的角度

　　如果 u 和 v 是 R2 或 R3 中的非零向量，那么可以将它们的內积与从原点到点 u 和原点到点 v 的两个线段之间的夹角 ϑ 联系起来：

u⋅v=‖u‖‖v‖cosϑ

　　假设 u 和 v 是 R2 中向量，由 u 和 v 和原点构成的三角形边长分别为 ‖u‖，‖v‖ 和 ‖u−v‖，由余弦定理，有

‖u−v‖2=‖u‖2+‖v‖2–2‖u‖‖v‖cosϑ

可得

‖u‖‖v‖cosϑ=12[‖u‖2+‖v‖2–‖u−v‖2]=12[u21+u22+v21+v22–(u1–v1)2–(u2–v2)2]=u1v1+u2v2=u⋅v