线性代数 Cheat Sheet 5-6：离散动力系统
对于由差分方程 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$ 描述的动力系统，$A$ 的特征值和特征向量提供了该动力系统长期行为（如控制系统中的稳态响应）的线索。
假设 $A$ 可对角化，由 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n$ 和对应的特征值 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$。为方便起见，假设特征向量已按 $|\lambda_1| \geq |\lambda_2| \geq \cdots |\lambda_n| \geq$ 的顺序排列好，因为 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的基，故任一初始向量 $\boldsymbol x_0$ 可以唯一表示为
\begin{equation}
\boldsymbol x_0 = c_1 \boldsymbol v_1 + \cdots + c_n \boldsymbol v_n
\end{equation}
$\boldsymbol x_0$ 的这种特征向量分解确定了序列 $\{\boldsymbol x_k\}$ 所发生的情况。因为 $\boldsymbol v_i$ 是特征向量，所以
\begin{align}
\boldsymbol x_1 = A \boldsymbol x_0 &= c_1 A \boldsymbol v_1 + \cdots + c_n A \boldsymbol v_n \\
&= c_1 \lambda_1 \boldsymbol v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \boldsymbol v_n
\end{align}
一般有
\begin{equation}
\boldsymbol x_k = c_1 (\lambda_1)^k \boldsymbol v_1 + \cdots + c_n (\lambda_n)^k \boldsymbol v_n \; (k = 0,1,2,\cdots)
\end{equation}
1. 解的几何意义
假设 $2 \times 2$ 的对角矩阵 $A$ 的有两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$，它们对应的两个特征向量是 $\mathbb{R}^2$ 的标准基 $\{\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2\}$，有
\begin{equation}
\boldsymbol x_k = c_1 (\lambda_1)^k \boldsymbol e_1 + c_n (\lambda_n)^k \boldsymbol e_2 \; (k = 0,1,2,\cdots)
\end{equation}
对于动力系统 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$：
- 如果两个特征值的绝对值都小于 $1$，动力系统的所有轨迹都趋于原点，此时称原点为动力系统的吸引子，过原点和有最小绝对值的特征值所对应特征向量的直线的方向是最大吸引方向。
- 如果两个特征值的绝对值都大于 $1$，动力系统的所有轨迹都远离原点，此时称原点为动力系统的排斥子，过原点和有最大绝对值的特征值所对应特征向量的直线的方向是最大排斥方向。
- 如果两个特征值的绝对值一个大于 $1$，一个小于 $1$，原点在某些方向吸引解，在某些方向排斥解，此时称原点为动力系统的鞍点，最大吸引方向是由绝对值较小的特征值的特征向量决定的，最大排斥方向是由绝对值较大的特征值的特征向量决定的。
2. 变量代换
上面讨论的矩阵是对角矩阵。为处理非对角矩阵，考虑 $n \times n$ 矩阵 $A$，设 $A$ 的特征向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的基。令 $P = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_n\end{bmatrix}$，$D$ 是对角线上元素为对应特征值的对角矩阵。给出序列 $\{\boldsymbol x_k\}$ 满足 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$，由
\begin{equation}
\boldsymbol y_k = P^{-1} \boldsymbol x_k \; 或 \; \boldsymbol x_k = P \boldsymbol y_k
\end{equation}
定义一个新的序列 $\{\boldsymbol y_k\}$，把这些关系代入方程 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$，并利用 $A = PDP^{-1}$，求得
\begin{equation}
P \boldsymbol y_{k+1} = AP\boldsymbol y_k = (PDP^{-1})P\boldsymbol y_k = PD\boldsymbol y_k
\end{equation}
等号两边乘以 $P^{-1}$，得
\begin{equation}
y_{k+1} = D \boldsymbol y_k
\end{equation}
记 $\boldsymbol y_k$ 为 $\boldsymbol y(k)$，用 $y_1(k), \cdots, y_n(k)$ 表示 $\boldsymbol y_k$ 的分量，那么
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
y_1(k+1) \\ y_2(k+1) \\ \vdots \\ y_n(k+1)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1(k) \\ y_2(k) \\ \vdots \\ y_n(k)
\end{bmatrix}
\end{equation}
从 $\boldsymbol x_k$ 到 $\boldsymbol y_k$ 的变量代换解耦的差分方程系统。例如，$y_1(k)$ 的变化不受 $y_2(k), \cdots, y_n(k)$ 的影响，因为对每一个 $k_1$，$y_1(k+1) = \lambda_1 y_1(k)$。
等式 $\boldsymbol x_k = P \boldsymbol y_k$ 表明 $\boldsymbol y_k$ 是 $\boldsymbol x_k$ 在向量基 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\}$ 下的坐标，这样我们就可以通过在新的特征向量坐标系中进行计算来结构系统 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$。当 $n = 2$ 时，相当于用两个特征向量作为坐标轴。