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线性代数 Cheat Sheet 5-5:复特征值

  n×n 矩阵的特征方程含有 n 次多项式,如果考虑复根,方程恰好有 n 个根(重根重复计算)。对复特征值的研究能揭示矩阵中隐藏的信息,通常与周期、震动、旋转等问题相关。

  建立在 Rn 基础上的矩阵特征值-特征向量理论同样可以应用到 Cn。因此,一个复数 λ 满足 \det(A – \lambda I) = 0 当且仅当在 \mathbb{C}^n 中存在一个非零向量 \boldsymbol x,使得 A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x。我们称这样的 \lambda(复)特征值\boldsymbol x 是对应于 \lambda(复)特征向量

1. 向量的实部和虚部

  \mathbb{C}^n 中复向量 \boldsymbol x 的共轭向量 \overline{\boldsymbol x} 也是 \mathbb{C}^n 中的向量,它的分量是 \boldsymbol x 中对应分量的共轭复数,向量 \mathrm{Re}\; \boldsymbol x\mathrm{Im}\; \boldsymbol x 称为复向量 \boldsymbol x实部虚部,分别由 \boldsymbol x 的分量的实部和虚部组成。

  假设 B 是可能有复元素的 m \times n 矩阵,那么,以 B 中元素的共轭复数为元素的矩阵记为 \overline{B}。复数的共轭运算性质对复矩阵代数亦成立:

\begin{equation} \overline{r \boldsymbol x} = \bar{r} \bar{\boldsymbol x}, \; \overline{B \boldsymbol x} = \bar{B} \bar{\boldsymbol x}, \; \overline{BC} = \bar{B} \bar{C}, \; \overline{rB} = \bar{r} \bar{B} \end{equation}

2. 作用于 \mathbb{C}^n 上的实矩阵的特征值和特征向量

  设 An \times n 实矩阵,那么 \overline{A \boldsymbol x} = \bar{A} \bar{\boldsymbol x} = A \bar{\boldsymbol x},假如 \lambdaA 的特征值,\boldsymbol x 是对应于 \lambda 的特征向量,那么

\begin{equation} A \bar{\boldsymbol x} = \overline{A \boldsymbol x} = \overline{\lambda \boldsymbol x} = \bar{\lambda} \bar{\boldsymbol x} \end{equation}

\bar{\lambda} 同样是 A 的特征值,而 \bar{\boldsymbol x} 是对应的特征向量。这表明,当 A 是实矩阵时,它的复特征值以共轭复数对出现。这里用复特征值表示形如 \lambda = a + b\mathrm{i} \; (b \neq 0) 的特征值。

  设 C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix},其中 a, b 为实数且不都等于零。那么 C 的特征值是 \lambda = a \pm b\mathrm{i}。同样,假如 r = |\lambda| = \sqrt{a^2 + b^2},那么

\begin{equation} C = r \begin{bmatrix}a/r & -b/r \\ b/r & a/r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & r\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix} \end{equation}

这里的 \varphi 是正 x 轴与 (0, 0)(a, b) 射线的夹角,称为 \lambda = a + b\mathrm{i} 的辐角。因此变换 \boldsymbol x \mapsto C \boldsymbol x 可看做由旋转 \varphi 角度和倍乘 |\lambda| 变换复合而成。

  若 A 是实矩阵,则 A (\mathrm{Re}\; \boldsymbol x) = \mathrm{Re} A \boldsymbol xA (\mathrm{Im}\; \boldsymbol x) = \mathrm{Im} A \boldsymbol x。若 \boldsymbol x 是对应于复特征值的特征向量,则 \mathrm{Re} \boldsymbol x\mathrm{Im} \boldsymbol x 是线性无关的。

  定理 9 设 A2 \times 2 实矩阵,有复特征值 \lambda = a – b \mathrm{i} \; (b \neq 0) 及对应的 \mathbb{C}^2 中的复特征向量 \boldsymbol v,那么

\begin{equation} A = PCP^{-1}, \; 其中 P = \begin{bmatrix}\mathrm{Re}\; \boldsymbol v & \mathrm{Im}\; \boldsymbol v \end{bmatrix}, \; C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \end{equation}

  在更高维矩阵中亦存在此情况。例如,若 A 是由复特征值的 3 \times 3 矩阵,那么在 \mathbb{R}^3 中存在某个平面,A 对平面的作用是旋转(可能还有倍乘),平面中每个向量被旋转到该平面的另一点上,我们称该平面在 A 的作用下式不变的。