线性代数 Cheat Sheet 5-4:特征向量与线性变换

1. 线性变换的矩阵

  设 Vn 维向量空间,Wm 维向量空间,TVW 的线性变换。为了把 T 与矩阵相联系,指定 BC 分别是 VW 的基。

  若 xV,坐标向量 [x]BRnx 的像 T(x) 的坐标向量 [T(x)]CRm

  容易找出 [x]B[T(x)]C 的关系。设 V 的基 B{b1,,bn}。若 x=r1b1,++rnbn,则

[x]B=[r1rn]

因为 T 是线性的,故

T(x)=T(r1b1,++rnbn)=r1T(b1)++rnT(bn)

因为从 WRm 的坐标映射是线性的,故等式 (1) 可推出

[T(x)]C=r1[T(b1)]C++rn[T(bn)]C

因为这些 C 坐标向量都属于 Rm,故向量等式 (2) 可以写为矩阵等式

[T(x)]C=M[x]B

其中

M=[[T(b1)]C[T(b2)]C[T(bn)]C]

矩阵 MT 的矩阵表示,称为T 相对于基 BC 的矩阵

  如果 BC 是同一空间 V 的基,T 是恒等变换 T(x)=x,xV,那么 (4) 中的矩阵 M 正好是坐标变换矩阵。

2. VV 的线性变换

  当 W=VC=B 时,(4) 中的 M 称为 T 相对于 B 的矩阵,或简称为 TB 的矩阵,记为 [T]B

  VV 的线性变换 TB 矩阵对所有 V 中的 x,有

[T(x)]B=[T]B[x]B

3. Rn 上的线性变换

  在涉及 Rn 的应用问题中,线性变换首先表现为一个矩阵变换 xAx。假设 A 是可对角化的,那么存在由 A 的特征向量组成的 Rn 的基 B。此时,下面的定理 8 表明 TB 矩阵是对角矩阵,这样,把 A 对角化相当于找到变换 xAx 的对角矩阵表示。

  定理 8(对角矩阵表示)设 A=PDP1,其中 Dn×n 对角矩阵,若 Rn 的基 BP 的列向量组成,那么 D 是变换 xAxB 矩阵。

4. 矩阵变换的相似性

  若 A 相似于 C,即有 A=PCP1,且 BP 的列向量组成,则 C 是变换 xAxB 矩阵。

  反之,若 RnRn 的变换 T:T(x)=Ax,而 BRn 的任意一个基,那么 TB 矩阵相似于 A。其实,在定理 8 的证明的计算过程中已经证明若 P 是以 B 的向量作为列构成的矩阵,那么 [T(x)]B=P1AP。因此,所有相似于 A 的矩阵的集合与变换 xAx 的所有矩阵表示的集合是同一集合。