线性代数 Cheat Sheet 5-4:特征向量与线性变换
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1. 线性变换的矩阵
设 V 是 n 维向量空间,W 是 m 维向量空间,T 是 V 到 W 的线性变换。为了把 T 与矩阵相联系,指定 B 和 C 分别是 V 和 W 的基。
若 x∈V,坐标向量 [x]B∈Rn,x 的像 T(x) 的坐标向量 [T(x)]C∈Rm。
容易找出 [x]B 与 [T(x)]C 的关系。设 V 的基 B 是 {b1,⋯,bn}。若 x=r1b1,+⋯+rnbn,则
[x]B=[r1⋮rn]
因为 T 是线性的,故
T(x)=T(r1b1,+⋯+rnbn)=r1T(b1)+⋯+rnT(bn)
因为从 W 到 Rm 的坐标映射是线性的,故等式 (1) 可推出
[T(x)]C=r1[T(b1)]C+⋯+rn[T(bn)]C
因为这些 C− 坐标向量都属于 Rm,故向量等式 (2) 可以写为矩阵等式
[T(x)]C=M[x]B
其中
M=[[T(b1)]C[T(b2)]C⋯[T(bn)]C]
矩阵 M 是 T 的矩阵表示,称为T 相对于基 B 和 C 的矩阵。
如果 B 和 C 是同一空间 V 的基,T 是恒等变换 T(x)=x,x∈V,那么 (4) 中的矩阵 M 正好是坐标变换矩阵。
2. V 到 V 的线性变换
当 W=V,C=B 时,(4) 中的 M 称为 T 相对于 B 的矩阵,或简称为 T 的 B− 的矩阵,记为 [T]B。
V→V 的线性变换 T 的 B− 矩阵对所有 V 中的 x,有
[T(x)]B=[T]B[x]B
3. Rn 上的线性变换
在涉及 Rn 的应用问题中,线性变换首先表现为一个矩阵变换 x↦Ax。假设 A 是可对角化的,那么存在由 A 的特征向量组成的 Rn 的基 B。此时,下面的定理 8 表明 T 的 B− 矩阵是对角矩阵,这样,把 A 对角化相当于找到变换 x↦Ax 的对角矩阵表示。
定理 8(对角矩阵表示)设 A=PDP−1,其中 D 为 n×n 对角矩阵,若 Rn 的基 B 由 P 的列向量组成,那么 D 是变换 x↦Ax 的 B− 矩阵。
4. 矩阵变换的相似性
若 A 相似于 C,即有 A=PCP−1,且 B 由 P 的列向量组成,则 C 是变换 x↦Ax 的 B− 矩阵。
反之,若 Rn↦Rn 的变换 T:T(x)=Ax,而 B 是 Rn 的任意一个基,那么 T 的 B− 矩阵相似于 A。其实,在定理 8 的证明的计算过程中已经证明若 P 是以 B 的向量作为列构成的矩阵,那么 [T(x)]B=P−1AP。因此,所有相似于 A 的矩阵的集合与变换 x↦Ax 的所有矩阵表示的集合是同一集合。