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线性代数 Cheat Sheet 5-4:特征向量与线性变换

1. 线性变换的矩阵

  设 Vn 维向量空间,Wm 维向量空间,TVW 的线性变换。为了把 T 与矩阵相联系,指定 BC 分别是 VW 的基。

  若 \boldsymbol x \in V,坐标向量 [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \in \mathbb{R}^n\boldsymbol x 的像 T(\boldsymbol x) 的坐标向量 [T(\boldsymbol x)]_\mathcal{C} \in \mathbb{R}^m

  容易找出 [\boldsymbol x]_\mathcal{B}[T(\boldsymbol x)]_\mathcal{C} 的关系。设 V 的基 \mathcal{B}\{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}。若 \boldsymbol x = r_1 \boldsymbol b_1, + \cdots + r_n \boldsymbol b_n,则

\begin{equation} [\boldsymbol x]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_n\end{bmatrix} \end{equation}

因为 T 是线性的,故

\begin{equation} T(\boldsymbol x) = T(r_1 \boldsymbol b_1, + \cdots + r_n \boldsymbol b_n) = r_1 T(\boldsymbol b_1) + \cdots + r_n T(\boldsymbol b_n) \tag{1} \end{equation}

因为从 W\mathbb{R}^m 的坐标映射是线性的,故等式 (1) 可推出

\begin{equation} [T(\boldsymbol x)]_\mathcal{C} = r_1 [T(\boldsymbol b_1)]_\mathcal{C} + \cdots + r_n [T(\boldsymbol b_n)]_\mathcal{C} \tag{2} \end{equation}

因为这些 \mathcal{C}- 坐标向量都属于 \mathbb{R}^m,故向量等式 (2) 可以写为矩阵等式

\begin{equation} [T(\boldsymbol x)]_\mathcal{C} = M [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \tag{3} \end{equation}

其中

\begin{equation} M = \begin{bmatrix} [T(\boldsymbol b_1)]_\mathcal{C} & [T(\boldsymbol b_2)]_\mathcal{C} & \cdots & [T(\boldsymbol b_n)]_\mathcal{C}\end{bmatrix} \tag{4} \end{equation}

矩阵 MT 的矩阵表示,称为T 相对于基 \mathcal{B}\mathcal{C} 的矩阵

  如果 \mathcal{B}\mathcal{C} 是同一空间 V 的基,T 是恒等变换 T(\boldsymbol x) = \boldsymbol x, x \in V,那么 (4) 中的矩阵 M 正好是坐标变换矩阵。

2. VV 的线性变换

  当 W = V\mathcal{C} = \mathcal{B} 时,(4) 中的 M 称为 T 相对于 \mathcal{B} 的矩阵,或简称为 T\mathcal{B}- 的矩阵,记为 [T]_\mathcal{B}

  V \rightarrow V 的线性变换 T\mathcal{B}- 矩阵对所有 V 中的 \boldsymbol x,有

\begin{equation} [T(\boldsymbol x)]_\mathcal{B} = [T]_\mathcal{B} [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \end{equation}

3. \mathbb{R}^n 上的线性变换

  在涉及 \mathbb{R}^n 的应用问题中,线性变换首先表现为一个矩阵变换 \boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x。假设 A 是可对角化的,那么存在由 A 的特征向量组成的 \mathbb{R}^n 的基 \mathcal{B}。此时,下面的定理 8 表明 T\mathcal{B}- 矩阵是对角矩阵,这样,把 A 对角化相当于找到变换 \boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x 的对角矩阵表示。

  定理 8(对角矩阵表示)设 A = PDP^{-1},其中 Dn \times n 对角矩阵,若 \mathbb{R}^n 的基 \mathcal{B}P 的列向量组成,那么 D 是变换 \boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x\mathcal{B}- 矩阵。

4. 矩阵变换的相似性

  若 A 相似于 C,即有 A = PCP^{-1},且 \mathcal{B}P 的列向量组成,则 C 是变换 \boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x\mathcal{B}- 矩阵。

  反之,若 \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n 的变换 T: T(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x,而 \mathcal{B}\mathbb{R}^n 的任意一个基,那么 T\mathcal{B}- 矩阵相似于 A。其实,在定理 8 的证明的计算过程中已经证明若 P 是以 \mathcal{B} 的向量作为列构成的矩阵,那么 [T(\boldsymbol x)]_\mathcal{B} = P^{-1}AP。因此,所有相似于 A 的矩阵的集合与变换 \boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x 的所有矩阵表示的集合是同一集合。