线性代数 Cheat Sheet 5-3：对角化

Author: nex3z 2018-12-03

　　如果一个方阵 $A$ 相似于对角阵，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，有 $A = PDP^{-1}$，则称 $A$ 可对角化。

　　定理 5（对角化定理）$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件时 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。事实上，$A = PDP^{-1}$，$D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。此时，$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值。

　　换句话说，$A$ 可对角化的充分必要条件时有足够的特征向量形成 $\mathbb{R}^n$ 的基，我们称这样的基为特征向量基。

　　若 $A = PDP^{-1}$，其中 $P$ 为可逆矩阵，$D$ 为对角矩阵，那么 $A^k$ 的计算也很简单：

$$\begin{equation} A^k = (PDP^{-1})^k = PDP^{-1} PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} = PD^kP^{-1} \end{equation}$$

1. 矩阵的对角化

　　对角化可分为 4 步来完成：

1. 求出 $A$ 的特征值。
2. 求出 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。
3. 用第 2 步得到的向量构造矩阵 $P$。
4. 用对应的特征值构造矩阵 $D$。

　　定理 6　有 $n$ 个相异特征值的 $n \times n$ 矩阵可对角化。

　　不过，$n \times n$ 矩阵并不是必须有 $n$ 个相异的特征值才可对角化。

2. 特征值不都相异的矩阵

　　如果 $n \times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值及相应的特征向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n$，若记 $P = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_n\end{bmatrix}$，那么由定理 2，$P$ 的列是线性无关的，自然 $P$ 是可逆的。当 $A$ 可对角化，但 $A$ 相异的特征值的个数少于 $n$ 时，我们仍可以用以下定理给出的方法来构造可逆矩阵 $P$。

　　定理 7　设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，其相异的特征值是 $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$。
a. 对于 $1 \leq k \leq p$，$\lambda_k$ 的特征空间的维数小于或等于 $\lambda_k$ 的代数重数。
b. 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为 $n$。即 (i) 特征多项式可以完全分解为线性因子，(ii) 每个 $\lambda_k$ 的特征空间的维数等于 $\lambda_k$ 的代数重数。
c. 若 $A$ 可对角化，$\mathcal{B}_k$ 是对应于 $\lambda_k$ 的特征空间的基，则集合 $\mathcal{B}_1, \cdots, \mathcal{B}_k$ 中所有向量的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的特征向量基。