线性代数 Cheat Sheet 5-3:对角化
如果一个方阵 A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵 P 和对角矩阵 D,有 A=PDP−1,则称 A 可对角化。
定理 5(对角化定理)n×n 矩阵 A 可对角化的充分必要条件时 A 有 n 个线性无关的特征向量。事实上,A=PDP−1,D 为对角矩阵的充分必要条件是 P 的列向量是 A 的 n 个线性无关的特征向量。此时,D 的主对角线上的元素分别是 A 的对应于 P 中特征向量的特征值。
换句话说,A 可对角化的充分必要条件时有足够的特征向量形成 Rn 的基,我们称这样的基为特征向量基。
若 A=PDP−1,其中 P 为可逆矩阵,D 为对角矩阵,那么 Ak 的计算也很简单:
Ak=(PDP−1)k=PDP−1PDP−1⋯PDP−1=PDkP−1
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1. 矩阵的对角化
对角化可分为 4 步来完成:
- 求出 A 的特征值。
- 求出 A 的 n 个线性无关的特征向量。
- 用第 2 步得到的向量构造矩阵 P。
- 用对应的特征值构造矩阵 D。
定理 6 有 n 个相异特征值的 n×n 矩阵可对角化。
不过,n×n 矩阵并不是必须有 n 个相异的特征值才可对角化。
2. 特征值不都相异的矩阵
如果 n×n 矩阵 A 有 n 个相异的特征值及相应的特征向量 v1,⋯,vn,若记 P=[v1⋯vn],那么由定理 2,P 的列是线性无关的,自然 P 是可逆的。当 A 可对角化,但 A 相异的特征值的个数少于 n 时,我们仍可以用以下定理给出的方法来构造可逆矩阵 P。
定理 7 设 A 是 n×n 矩阵,其相异的特征值是 λ1,⋯,λp。
a. 对于 1≤k≤p,λk 的特征空间的维数小于或等于 λk 的代数重数。
b. 矩阵 A 可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为 n。即 (i) 特征多项式可以完全分解为线性因子,(ii) 每个 λk 的特征空间的维数等于 λk 的代数重数。
c. 若 A 可对角化,Bk 是对应于 λk 的特征空间的基,则集合 B1,⋯,Bk 中所有向量的集合是 Rn 的特征向量基。