线性代数 Cheat Sheet 5-2：特征方程

Author: nex3z 2018-12-02

1. 行列式

　　设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$U$ 是对 $A$ 作行替换和行交换（不做行倍乘）所得到的任一阶梯型矩阵，$r$ 是行交换的次数，那么 $A$ 的行列式 $\det A = (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn}$。如果 $A$ 可逆，那么 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 都是主元（因为 $A \sim I_n$ 且 $u_{ii}$ 没有归一化）。否则，至少有 $u_{nn}$ 为零，从而乘积 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 为零。因此

$$\begin{equation} \det A = \begin{cases} (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn} & 当 A 可逆 \\ 0 & 当 A 不可逆\end{cases} \tag{1} \end{equation}$$

　　式 $(1)$ 说明 $A$ 是可逆的当且仅当 $\det A$ 非零。

　　定理（可逆矩阵定理（续））设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当
s. $0$ 不是 $A$ 的特征值。
t. $A$ 的行列式不等于 $0$。

　　定理 3（行列式的性质）设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵。
a. $A$ 可逆的充要条件是 $\det A \neq 0$。
b. $\det AB = (\det A)(\det B)$。
c. $\det A^\mathsf{T} = \det A$。
d. 若 $A$ 是三角形矩阵，那么 $\det A$ 是 $A$ 主对角元素的乘积。
e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式的值。作一次行交换，行列式的值符号改变一次。数乘一行后，行列式值等于用此数乘原来的行列式值。

2. 特征方程

　　利用定理 3(a)，我们可以通过行列式来判断矩阵 $A – \lambda I$ 是否可逆。数值方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 称为 $A$ 的特征方程。

　　数 $\lambda$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 的特征值的充要条件是 $\lambda$ 是特征方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 的根。

　　如果 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，那么 $\det (A – \lambda I)$ 是 $n$ 次多项式，称为 $A$ 的特征多项式。

　　一般地，把特征值 $\lambda$ 作为特征方程根的重数称为 $\lambda$ 的（代数）重数。因为 $n \times n$ 矩阵的特征方程包含有一个 $n$ 次多项式，所以如果算上重根，并允许有复根（称为复特征值），则特征方程恰好有 $n$ 个根。

3. 相似性

　　假如 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP= B$，或等价地 $A = PBP^{-1}$，则称$A$ 相似于 $B$。记 $Q = P^{-1}$，则有 $Q^{-1}BQ = A$，即 $B$ 也相似于 $A$。故我们简单说 $A$ 和 $B$ 是相似的。把 $A$ 变成 $P^{-1}AP$ 的变换称为相似变换。

　　定理 4　若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（和相同的重数）。

　　有相同特征值的两个矩阵不一定相似。相似和行等价是两个概念，对矩阵作行变换通常会改变矩阵的特征值。