线性代数 Cheat Sheet 4-7：基的变换
对一个 $n$ 维向量空间 $V$，当一个基 $\mathcal{B}$ 取定后，与之相关的映上到 $\mathbb{R}^n$ 的坐标映射对 $V$ 提供了一个坐标系。$V$ 的每个向量 $\boldsymbol x$ 由它的 $\mathbb{R}^-$ 坐标向量 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 唯一取定。
定理 15 设 $\mathcal{B} = {\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n}$ 和 $\mathcal{C} = {\boldsymbol c_1, \cdots, \boldsymbol c_n}$ 是向量空间 $V$ 的基，则存在一个 $n \times n$ 矩阵 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 使得
\begin{equation}
[\boldsymbol x]_\mathcal{C} = \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \tag{1}
\end{equation}
$\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 的向列是基 $\mathcal{B}$ 中向量的 $\mathcal{C}-$坐标向量，即
\begin{equation}
\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P = \begin{bmatrix} [\boldsymbol b_1]_\mathcal{C} & [\boldsymbol b_2]_\mathcal{C} & \cdots & [\boldsymbol b_n]_\mathcal{C}\end{bmatrix}
\end{equation}
定理 15 中的矩阵 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 称为由 $\mathcal{B}$ 到 $\mathcal{C}$ 的坐标变换矩阵。乘以 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 的运算将 $\mathcal{B}-$ 坐标变为 $\mathcal{C}-$ 坐标。
$\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 的列是线性无关的，因为它们是线性无关集 $\mathcal{B}$ 的坐标向量。因为 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 是方阵，所以由可逆矩阵定理，$\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 必是可逆的。将 $(1)$ 式两边左乘以 $\big(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P\big)^{-1}$，得
\begin{equation}
\big(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P\big)^{-1} [\boldsymbol x]_\mathcal{C} = [\boldsymbol x]_\mathcal{B}
\end{equation}
于是 $\big(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P\big)^{-1}$ 是将 $\mathcal{C}-$ 坐标变为 $\mathcal{B}-$ 坐标的矩阵，即
\begin{equation}
\big(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P\big)^{-1} = \underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}P
\end{equation}
1. $\mathbb{R}^n$ 中基的变换
若 $\mathcal{B} = {\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n}$，$\mathcal{E} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的标准基 ${\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n}$，则 $[\boldsymbol b_1]_\mathcal{E}= \boldsymbol b_1$，$\mathcal{B}$ 中其他向量也类似。在此情形下，$\underset{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 与前文 引入的坐标变换矩阵 $P_\mathcal{B}$ 相同，即
\begin{equation}
P_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} \boldsymbol b_1 & \boldsymbol b_2 & \cdots & \boldsymbol b_n\end{bmatrix}
\end{equation}
定理 15 解决在 $\mathbb{R}^n$ 中两个非标准基之间的坐标变换，为解决此问题，需要原来的基（$\mathcal{B}$）关于新的基（$\mathcal{C}$）的坐标向量。
另一个关于坐标变换矩阵 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 的表述是使用坐标变换矩阵 $P_\mathcal{B}$ 和 $P_\mathcal{C}$ 分别将 $\mathcal{B}-$ 坐标和 $\mathcal{C}-$ 坐标转换为标准坐标。对 $\mathbb{R}^n$ 中的每个 $\boldsymbol x$，有
\begin{equation}
P_\mathcal{B}[\boldsymbol x]_\mathcal{B} = \boldsymbol x, \; P_\mathcal{C}[\boldsymbol x]_\mathcal{C} = \boldsymbol x, \;
[\boldsymbol x]_\mathcal{C} = P_\mathcal{C}^{-1}\boldsymbol x
\end{equation}
于是
\begin{equation}
[\boldsymbol x]_\mathcal{C} = P_\mathcal{C}^{-1}\boldsymbol x = P_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B} [\boldsymbol x]_\mathcal{B}
\end{equation}
在 $\mathbb{R}^n$ 中，坐标变换矩阵 $\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}P$ 可以用 $P_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B}$ 来计算。