线性代数 Cheat Sheet 4-6：秩

Author: nex3z 2018-12-01

　　设想一个填充满随机数的 $40 \times 50$ 矩阵 $A$，$A$ 中线性无关列的最大个数和 $A^\mathsf{T}$ 中线性无关列的最大个数（$A$ 中线性无关行的最大个数）是相同的，这个公共值是矩阵 $A$ 的秩。

　　若 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的每一行具有 $n$ 个元素，可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量，其行向量的所有线性组合的集合称为 $A$ 的行空间，记为 $\mathrm{Row}\; A$。由于每一行具有 $n$ 个元素，所以 $\mathrm{Row}\; A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。因为 $A$ 的行与 $A^\mathsf{T}$ 的列相同，也可以用 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 代替 $\mathrm{Row}\; A$。

　　定理 13　若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的行空间相同。若 $B$ 是阶梯形矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基，同时也是 $B$ 的行空间的一个基。

　　注意上面定理中 “$B$ 的非零行”指的是 $B$ 本身的非零行，不是$B$ 非零行位置对应在 $A$ 中的行，因为对 $A$ 进行行变换会改变 $A$ 的行的相关关系。

　　也可以利用 $A$ 的行求 $A$ 的行空间 $\mathrm{Row}\; A$ 的基：对 $A^\mathsf{T}$ 进行行化简（不改变 $A^\mathsf{T}$ 的列的相关关系），找到 $A^\mathsf{T}$ 的主元列，这些主元列是 $A$ 的行，构成 $A$ 的行空间的一个基。

　　定义　$A$ 的秩即 $A$ 的列空间的维数。

　　由于 $\mathrm{Row}\; A$ 与 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 相同，故 $A$ 的行空间的维数等于 $A^\mathsf{T}$ 的秩。

　　定理 13（秩定理）$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数（即 $A$ 的秩）还等于 $A$ 中主元位置的个数，且满足方程

$$\begin{equation} \mathrm{rank}\; A + \dim \mathrm{Nul}\; A = n \end{equation}$$

　　$\mathrm{Row}\; A$ 和 $\mathrm{Nul}\; A$ 的公共向量只有零向量，二者是相互“垂直”的。对 $\mathrm{Row}\; A^\mathsf{T}$（$= \mathrm{Col}\; A$） 和 $\mathrm{Nul}\; A^\mathsf{T}$ 有同样的结果。

1. 秩和可逆矩阵定理

　　定理（可逆矩阵定理（续））令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，则下列命题的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵：
m. $A$ 的列构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基。
n. $\mathrm{Col}\; A = \mathbb{R}^n$。
o. $\dim \mathrm{Col}\; A = n$。
p. $\mathrm{rank}\; A = n$。
q. $\mathrm{Nul}\; A = {\boldsymbol 0}$。
r. $\dim \mathrm{Nul}\; A = 0$。