Tag Archive: Probability

　　设 $X_1, X_2$ 是联合连续的随机变量，具有联合密度函数 $F_{X_1, X_2}$，$Y_1, Y_2$ 为 $X_1, X_2$ 的函数，要计算 $Y_1, Y_2$ 的联合分布，设 $Y_1 = g_1(X_1, X_2)$，$Y_2 = g_2(X_1, X_2)$，函数 $g_1, g_2$ 满足以下两个条件： （1）有下列方程组 \begin{equation} y_1 …
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1. 离散情形下的条件分布 　　对于两个事件 $E$ 和 $F$，给定 $F$ 发生的条件下 $E$ 的条件概率为（假设 $P(F) > 0$） \begin{equation} P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)} \end{equation} 如果 $X$ 和 $Y$ 都是离散型随机变量，那么在已知 $Y = y$ 的条件下，定义 $X$ 的分布列如下：对于所有满足 $p_Y…
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1. 独立随机变量 　　对于随机变量 $X$ 和 $Y$，如果对任意两个实数集 $A$ 和 $B$，有 \begin{equation} P\{X \in A, Y \in B\} = P\{X \in A\} P\{Y \in B\} \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 和 $Y$ 是独立的（Indenpendent）。也就…
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1. 联合概率分布函数 　　为了处理两个随机变量的概率问题，定义两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布函数（Joint Cumulative Probability Distribution Function）如下 \begin{equation} F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} \qquad -\infty < a, b &lt…
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　　如果我们已知某随机变量 $X$ 的分布，想要知道该随机变量的函数 $g(X)$ 的分布，需要将事件 $g(X) \leq y$ 表示为关于 $X$ 的集合。 　　定理　设 $X$ 为一连续型随机变量，密度函数为 $f_X$，设 $g(x)$ 为一严格单调（递增或递减）且可微（因此必连续）的函数，那么随机变量 $Y = g(X)$ 的密度函数为 \begin{equation} f_Y(y) =…
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1. $\Gamma$ 分布 　　如果一个随机变量具有密度函数 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}\frac{\lambda e^{-\lambda x} (\lambda x)^{\alpha – 1}}{\Gamma(\alpha)} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases} …
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1. 定义 　　如果一个连续型随机变量的密度函数对于参数 $\lambda > 0$ 有 \begin{equation} f(x) =\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & 当 \; x \geq 0 \\ 0 & 当 \; x < 0\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称该随机变量是…
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1. 定义 　　如果随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } \mathrm{e}^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}} \qquad -\infty < x < \infty \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 是服从参数为 …
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1. 定义 　　如果一个随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}1 & 0 < x <1 \\ 0 & 其他\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称随机变量 $X$ 在 $(0, 1)$ 区间上服从均匀分布（Uniform Distribution）。 　…
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1. 定义 　　设 $X$ 是一个随机变量，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 $f$，使得对于任一个实数集 $B$，满足 \begin{equation} P\{X \in B\} = \int_B f(x) \mathrm{d}x \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 为连续型（Continuous）随机变量。函数 $f$ 称为随机变量 $X$ 的概率密…
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