Tag Archive: Linear Algebra

　　对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，若存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $C$，使 \begin{equation} CA = I \; 且 \; AC = I \end{equation} 其中 $I = I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，则称 $C$ 是 $A$ 的逆。 　　若 $A$ 可逆，则它的逆是唯一的，记为 $A^{-1}$，于是 \beg…
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　　若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素用 $a_{ij}$ 表示，称为 $A$ 的 $(i, j)$ 元素。$A$ 的各列是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量，用黑体字母 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$ 表示，写作 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbo…
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　　从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的每一个线性变换 $T$ 实际上都是一个矩阵变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$，变换 $T$ 的重要性质都归结为 $A$ 的性质。 　　定理 10　设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$，使得对 $…
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　　对于矩阵方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$，可以将矩阵 $A$ 看成一种对象，它通过乘法“作用”于向量 $\boldsymbol x$，产生新向量 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$。解方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$（假设$A$ 是 $m \times n$ 的矩阵），就是求出 $\…
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　　定义　对于 $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，若向量方程 \begin{equation} x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag…
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1. 齐次线性方程组 　　若线性方程可以写成 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的形式，则称该线性方程组是齐次的。其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol 0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即 $\boldsymbol x = \boldsymbol 0$（$\mathbb{R}^n$ …
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　　定义　若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$。若 $\boldsymbol x$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $A$ 与 $\boldsymbol x$ 的积（记为 $A \boldsymbol x$），就是 $A$ 的各列以 $\boldsymbol x$ 中对应元素…
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1. $\mathbb{R}^2$ 中的向量 　　仅含一列的矩阵称为列向量，简称向量，如： \begin{equation} \boldsymbol u = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \; \boldsymbol v = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \end{bmatrix}, \; \b…
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　　矩阵中至少包含一个非零元素的行称为非零行，非零行中最左边的非零元素称为先导元素。 　　定义　若矩阵具有以下三个性质： 1. 每一非零行都在每一零行之上。 2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。 3. 某一先导元素所在列的下方元素都是零。 则称该矩阵为阶梯形（或行阶梯形）矩阵。 　　若一个阶梯形矩阵还满足以下性质： 4. 每一非零行的先导元素都是 1。 5. 每一先导元素 1 …
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　　本系列为《线性代数及其应用（原书第 5 版）》（Linear Algebra and Its Application）中关键概念的整理，方便查用。 　　线性方程是形如 \begin{equation} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1} \end{equation} 的方程，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是变…
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