尽管变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 有可能使向量往各个方向移动，但通常会有某些特殊向量，$A$ 对这些向量的作用是简单的。 　　定义　$A$ 为 $n \times n$ 矩阵，$\boldsymbol x$ 为非零向量，若存在数 $\lambda$ 使 $A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x$ 有…
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　　马尔可夫链习惯上用来描述用用一种方法进行多次实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果仅依赖于最近的前一次测试。 　　一个具有非负元素且各元素的数值相加等于 $1$ 的向量称为概率向量。随机矩阵是各列向量均为概率向量的方阵。马尔可夫链是一个概率向量序列 $\boldsymbol x_0, \boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2, \cdo…
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　　设 $\mathbb{S}$ 是数的双向无穷序列空间： \begin{equation} {y_k} = (\cdots, y_{-2}, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \cdots) \end{equation} 若 $\{z_k\}$ 是 $\mathbb{S}$ 中的另一个元素，则和 $\{y_k\} + \{z…
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　　对一个 $n$ 维向量空间 $V$，当一个基 $\mathcal{B}$ 取定后，与之相关的映上到 $\mathbb{R}^n$ 的坐标映射对 $V$ 提供了一个坐标系。$V$ 的每个向量 $\boldsymbol x$ 由它的 $\mathbb{R}^-$ 坐标向量 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 唯一取定。 　　定理 15　设 $\mathc…
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　　设想一个填充满随机数的 $40 \times 50$ 矩阵 $A$，$A$ 中线性无关列的最大个数和 $A^\mathsf{T}$ 中线性无关列的最大个数（$A$ 中线性无关行的最大个数）是相同的，这个公共值是矩阵 $A$ 的秩。 　　若 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的每一行具有 $n$ 个元素，可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量，其行向量的所有线…
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　　定理 8 蕴含向量空间 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 个向量，则 $V$ 与 $\mathbb{R}^n$ 同构。数 $n$ 是 $V$ 的一个内在性质（称为维数），不依赖基的选择。 　　定理 9　若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，…
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1. 坐标系 　　定理 7（唯一坐标定理）令 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol x$，存在唯一的一组数 $c_1, \cdots, c_n$，使得 \begin{equation} \boldsymbol x = …
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　　对于 $V$ 中向量的一个指标集 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，如果 \begin{equation} c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1} \end{equa…
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　　在线性代数的应用中，$\mathbb{R}^n$ 的子空间通常由以下两种方式产生：（1）作为齐次线性方程组的解集；（2）作为某些确定向量的线性组合的集合。 1. 矩阵的零空间 　　满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有 $\boldsymbol x$ 的集合称为矩阵 $A$ 的零空间。 　　定义　矩阵 $A$ 的零空间写成 $\mathrm{Nul}\…
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　　定义　一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$，在这个集合上定义了两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 及所有标量（或称数）$c$ 和 $d$ 均成立。 1. $\boldsymbol u, \boldsymbol v$…
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