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线性代数 Cheat Sheet 4-6:秩

  设想一个填充满随机数的 $40 \times 50$ 矩阵 $A$,$A$ 中线性无关列的最大个数和 $A^\mathsf{T}$ 中线性无关列的最大个数($A$ 中线性无关行的最大个数)是相同的,这个公共值是矩阵 $A$ 的秩。   若 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵,$A$ 的每一行具有 $n$ 个元素,可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量,其行向量的所有线…
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线性代数 Cheat Sheet 4-2:零空间、列空间和线性变换

  在线性代数的应用中,$\mathbb{R}^n$ 的子空间通常由以下两种方式产生:(1)作为齐次线性方程组的解集;(2)作为某些确定向量的线性组合的集合。 1. 矩阵的零空间   满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有 $\boldsymbol x$ 的集合称为矩阵 $A$ 的零空间。   定义 矩阵 $A$ 的零空间写成 $\mathrm{Nul}\…
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线性代数 Cheat Sheet 4-1:向量空间与子空间

  定义 一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$,在这个集合上定义了两个运算,称为加法和标量乘法(标量取实数),服从以下公理(或法则),这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 及所有标量(或称数)$c$ 和 $d$ 均成立。 1. $\boldsymbol u, \boldsymbol v$…
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线性代数 Cheat Sheet 3-2:行列式的性质

  定理 3(行变换)令 $A$ 是一个方阵。 a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$,则 $\det B = det A$。 b. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$,则 $\det B = -\det A$。 c. 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 得到矩阵 $B$,则 $\det B = k \cdot \det A$。   若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为…
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