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　　估计和假设检验是统计推断所研究的两大基本问题，其中对总体参数的估计主要分为点估计和区间估计。 　　点估计问题指的是当总体 $X$ 的分布函数的形式已知，而它的一个或多个参数未知，借助于总体 $X$ 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题。 　　点估计问题的一般提法为：设总体 $X$ 的分布函数 $F(x;\theta)$ 的形式为已知，$\theta$ 为待估计参数，$X_1, X_2, \c…
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　　对于任意分布的总体 $X$，设其均值和方差均存在，分别为 $\mu$ 和 $\sigma^2$；$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的一个样本，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则有 \begin{equation} E(\overline{X}) = \mu, \quad D(\overline{X}) = \sigma^2 …
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　　统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时，常需要知道它的分布。当总体分布函数已知时，抽样分布是确定的，但要求出统计量的精确分布一般来说是困难的。以下给三个常用统计量的分布。 1. $\chi^2$ 分布 　　设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0, 1)$ 的样本，则称统计量 \begin{equation} \chi^2 = X_1^2 + X_…
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1. 随机样本 　　定义　设 $X$ 是具有分布函数 $F$ 的随机变量，若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是具有同一分布函数 $F$ 的、相互独立的随机变量，则称 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为从分布函数 $F$（或总体 $F$、或总体 $X$）得到的容量为 $n$ 的简单随机样本，简称样本。它们的观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 称为…
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　　在现实中，有些事件的发生会受到大量相互独立的随机因素的影响，而其中每一个因素对事件的影响又是微弱的，此类事件往往近似服从正态分布。 1. 独立同分布的中心极限定理 　　定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差 $E(X_k) = \mu, \; D(X_k) = \sigma^2 …
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1. 辛钦大数定理 　　大量实验证实，随机事件 $A$ 的频率 $f_n(A)$ 随重复试验的次数 $n$ 的增大而稳定在一个常数附近，频率的稳定性是概率定义的客观基础，也符合直观上的认识。大数定律从理论上说明了频率的稳定性。 　　弱大数定理（辛钦大数定理）设 $X_1, X_2, \cdots$ 是相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望 $E(X_k) = \mu$（$k = 1,…
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