线性代数 Cheat Sheet 1-8:线性变换介绍
对于矩阵方程 Ax=b,可以将矩阵 A 看成一种对象,它通过乘法“作用”于向量 x,产生新向量 Ax=b。解方程 Ax=b(假设A 是 m×n 的矩阵),就是求出 Rn 中的所有向量 x,它们经过乘以 A 的“作用”后变为 Rm 中的 b。
由 Rn 到 Rm 的一个变换(或称函数、映射)T 是一个规则,它把 Rn 中的每个向量 x 对应到 Rm 中的一个向量 T(x)。集 Rn 称为 T 的定义域,Rm 称为 T 的余定义域(或取值空间)。符号 T:Rn→Rm 说明 T 的定义域是 Rn,余定义域是 Rm。对于 Rn 中的向量 x,Rm 中的向量 T(x) 称为 x(在 T 作用下)的像。所有像 T(x) 的集合称为 T 的值域。
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1. 矩阵变换
对于 Rn 中的每个 x,T(x) 由 Ax 计算得到,其中 A 是 m×n 矩阵。有时将这样一个矩阵变换记为 x→Ax。当 A 有 n 列时,T 的定义域为 Rn;当 A 的每列有 m 个元素时,T 的余定义域为 Rm;T 的值域为 A 的列的所有线性组合的集合。
对于线性方程组 T(x)=b,即 Ax=b,其解的唯一性问题可以用矩阵变换的语言表述为:b 是否是 Rn 中唯一的 x 的像;其解的存在性问题,可以表述为:是否存在 Rn 中的 x 使得它的像为 b。
2. 线性变换
定义 当满足以下条件时,变换(或映射)T 是线性的:
(i) 对 T 的定义域中的一切 u,v,T(u+v)=T(u)+T(v)。
(ii) 对 T 的定义域中的一切 u 和数 c,T(cu)=cT(u)。
由上面定义中的两个性质,容易推出:若 T 是线性变换,则
T(0)=0
且对 T 的定义域中的一切向量 u 和 v 以及数 c 和 d,有:
T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)
对于所有 u,v 和 c,d,若一个变换满足 (1),则它必是线性的。(1) 式中,取 c=d=1 可得 (i),取 d=0 可得 (ii)。
重复应用 (1) 式可以得到有用的推广:
T(c1v1+⋯+cpvp)=c1T(v1)+⋯+cpT(vp)
在工程和物理中,(2) 式称为叠加原理。