线性代数 Cheat Sheet 1-8：线性变换介绍
对于矩阵方程 A \boldsymbol x = \boldsymbol b，可以将矩阵 A 看成一种对象，它通过乘法“作用”于向量 \boldsymbol x，产生新向量 A \boldsymbol x = \boldsymbol b。解方程 A \boldsymbol x = \boldsymbol b（假设A 是 m \times n 的矩阵），就是求出 \mathbb{R}^n 中的所有向量 \boldsymbol x，它们经过乘以 A 的“作用”后变为 \mathbb{R}^m 中的 \boldsymbol b。
由 \mathbb{R}^n 到 \mathbb{R}^m 的一个变换（或称函数、映射）T 是一个规则，它把 \mathbb{R}^n 中的每个向量 \boldsymbol x 对应到 \mathbb{R}^m 中的一个向量 T(\boldsymbol x)。集 \mathbb{R}^n 称为 T 的定义域，\mathbb{R}^m 称为 T 的余定义域（或取值空间）。符号 T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m 说明 T 的定义域是 \mathbb{R}^n，余定义域是 \mathbb{R}^m。对于 \mathbb{R}^n 中的向量 \boldsymbol x，\mathbb{R}^m 中的向量 T(\boldsymbol x) 称为 \boldsymbol x（在 T 作用下）的像。所有像 T(\boldsymbol x) 的集合称为 T 的值域。
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1. 矩阵变换
对于 \mathbb{R}^n 中的每个 \boldsymbol x，T(\boldsymbol x) 由 A \boldsymbol x 计算得到，其中 A 是 m \times n 矩阵。有时将这样一个矩阵变换记为 \boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol x。当 A 有 n 列时，T 的定义域为 \mathbb{R}^n；当 A 的每列有 m 个元素时，T 的余定义域为 \mathbb{R}^m；T 的值域为 A 的列的所有线性组合的集合。
对于线性方程组 T(\boldsymbol x) = \boldsymbol b，即 A \boldsymbol x = \boldsymbol b，其解的唯一性问题可以用矩阵变换的语言表述为：\boldsymbol b 是否是 \mathbb{R}^n 中唯一的 \boldsymbol x 的像；其解的存在性问题，可以表述为：是否存在 \mathbb{R}^n 中的 \boldsymbol x 使得它的像为 \boldsymbol b。
2. 线性变换
定义 当满足以下条件时，变换（或映射）T 是线性的：
(i) 对 T 的定义域中的一切 \boldsymbol u, \boldsymbol v，T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = T(\boldsymbol u) + T(\boldsymbol v)。
(ii) 对 T 的定义域中的一切 \boldsymbol u 和数 c，T(c \boldsymbol u) = cT(\boldsymbol u)。
由上面定义中的两个性质，容易推出：若 T 是线性变换，则
\begin{equation} T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol 0 \end{equation}
且对 T 的定义域中的一切向量 \boldsymbol u 和 \boldsymbol v 以及数 c 和 d，有：
\begin{equation} T(c\boldsymbol u + d\boldsymbol v) = cT(\boldsymbol u) + dT(\boldsymbol v) \tag{1} \end{equation}
对于所有 \boldsymbol u, \boldsymbol v 和 c, d，若一个变换满足 (1)，则它必是线性的。(1) 式中，取 c = d = 1 可得 (i)，取 d = 0 可得 (ii)。
重复应用 (1) 式可以得到有用的推广：
\begin{equation} T(c_1\boldsymbol v_1 + \cdots + c_p\boldsymbol v_p) = c_1 T(\boldsymbol v_1) + \cdots + c_p T(\boldsymbol v_p) \tag{2} \end{equation}
在工程和物理中，(2) 式称为叠加原理。