线性代数 Cheat Sheet 1-6：线性无关

Author: nex3z 2018-09-02

　　定义　对于 $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，若向量方程

$$\begin{equation} x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1} \end{equation}$$

仅有平凡解，则称该向量组（集）是线性无关的。若存在不全为零的权 $c_1, \cdots, c_p$，使

$$\begin{equation} c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{2} \end{equation}$$

则称该向量组（集）是线性相关的。方程 $(2)$ 称为向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 之间的线性相关关系。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。

1. 矩阵各列的线性无关

　　对于矩阵 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_n \end{bmatrix}$，矩阵方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 可以写成

$$\begin{equation} x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n = \boldsymbol 0 \end{equation}$$

　　$A$ 的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的一个非平凡解，因此有：矩阵 $A$ 的各列线性无关，当且仅当方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。

2. 一个或两个向量的集合

　　仅含一个向量（如 $\boldsymbol v$）的集合线性无关当且仅当 $\boldsymbol v$ 不是零向量，因为当 $\boldsymbol v \neq 0$ 时方程 $x_1 \boldsymbol v = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。零向量是线性相关的，因为 $x_1 \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$ 有无穷多解。

　　两个向量的集合 $\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}$ 线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中一个向量不是另一个向量的倍数。总可以像这样用观察法来判断两个向量是否线性相关，而不必进行行变换。

　　从几何意义上看，两个向量线性相关，当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。

3. 两个或更多向量的集合

　　定理 7（线性相关集的特征）两个或更多个向量的集合 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 线性相关，当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上，若 $S$ 线性相关，且 $\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$，则某个 $\boldsymbol v_j$（$j > 1$）是它前面几个向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$ 的线性组合。

　　注意线性相关集中的每一个向量不一定都是其他向量的线性组合。

　　对于 $\mathbb{R}^3$ 中的任意集合 $\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}$，其中 $\boldsymbol u$ 与 $\boldsymbol v$ 线性无关，这时集合 $\{\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\}$ 线性相关当且仅当 $\boldsymbol w$ 在 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 所生成的平面上。

　　定理 8　若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。即对于 $\mathbb{R}^n$ 中任意向量组 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，当 $p > n$ 时线性相关。

　　对于定理 8 的证明，设 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_p \end{bmatrix}$，是 $n \times p$ 的矩阵，此时方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 对应于有 $p$ 个未知量和 $n$ 个方程的方程组。若 $p > n$，则未知量比方程多，必定有自由变量，因此 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 必有非平凡解，所以 $A$ 的各列线性相关。

　　定理 9　若 $\mathbb{R}^n$ 中向量组 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 包含零向量，则它线性相关。