线性代数 Cheat Sheet 1-5：线性方程组的解集

Author: nex3z 2018-09-01

1. 齐次线性方程组

　　若线性方程可以写成 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的形式，则称该线性方程组是齐次的。其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol 0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即 $\boldsymbol x = \boldsymbol 0$（$\mathbb{R}^n$ 中的零向量），这个解称为它的平凡解。满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的非零向量 $\boldsymbol x$ 称为非平凡解。

　　齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。因为由前述定理 2 可知，对于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$，当它没有自由变量时，有唯一解，即平凡解；当它至少有一个自由变量时，有无穷多解，此时才会存在非平凡解。

2. 参数向量形式

　　对于齐次方程组

$$\begin{equation} 10x_1 – 3x_2 – 2x_3 = 0 \tag{1} \end{equation}$$

通解为

$$\begin{equation} x_1 = 0.3x_2 + 0.2x_3 \end{equation}$$

写成向量的形式，通解为

$$\begin{equation} \boldsymbol x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3x_2 + 0.2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3x_2 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.2x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{2} \end{equation}$$

令

$$\begin{equation} \boldsymbol u = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol v = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation}$$

则

$$\begin{equation} \boldsymbol x = x_2 \boldsymbol u + x_3 \boldsymbol v \end{equation}$$

　　可见，方程 $(1)$ 的每个解都是向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 的线性组合，解集为 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$。因为 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 都不是对方的倍数，故解集是通过原点的一个平面。

　　式 $(2)$ 称为平面的参数向量方程，可写为

$$\begin{equation} \boldsymbol x = s \boldsymbol u + t \boldsymbol v \end{equation}$$

的形式，其中 $s$ 和 $t$ 为实数。当使用向量的形式来显式地表示解集时，称之为解的参数向量形式。

3. 非齐次方程组的解

　　定理 6　设方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 对某个 $\boldsymbol b$ 是相容的，$\boldsymbol p$ 为一个特解，则 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的解集是所有形如 $\boldsymbol w = \boldsymbol p + \boldsymbol v_h$ 的向量的集，其中 $\boldsymbol v_h$ 是齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的任意一个解。

　　定理 6 说明若 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 有解，则解集可由 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的解集平移向量 $\boldsymbol p$ 得到，$\boldsymbol p$ 是 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的任意一个特解。定理 6 仅适用于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 至少有一个非零解 $\boldsymbol p$ 的情况；若 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 无解，则解集是空集。

　　把（相容方程组的）解集表示成参数向量形式：
1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形。
2. 用自由变量表示每个基本变量。
3. 把一般解 $\boldsymbol x$ 表示成向量，如果有自由变量，其元素依赖于自由变量。
4. 把 $\boldsymbol x$ 分解为向量（元素为常数）的线性组合，用自由变量作为参数。