线性代数 Cheat Sheet 1-3：向量方程
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1. $\mathbb{R}^2$ 中的向量
仅含一列的矩阵称为列向量，简称向量，如：
\begin{equation}
\boldsymbol u =
\begin{bmatrix}
3 \\
-1
\end{bmatrix}, \;
\boldsymbol v = \begin{bmatrix}
0.2 \\
0.3
\end{bmatrix}, \;
\boldsymbol w = \begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2
\end{bmatrix}
\end{equation}
其中 $w_1$ 和 $w_2$ 是任意实数。所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^2$，$\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，角标 $2$ 表示每个向量包含两个元素。
$\mathbb{R}^2$ 中的两个向量相等当且仅当其对应元素相等。
给定 $\mathbb{R}^2$ 中的两个向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$，它们的和 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 是把 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 中对应元素相加所得的向量。例如
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2 \\ -2 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}
\end{equation}
给定向量 $\boldsymbol u$ 和实数 $c$，$\boldsymbol u$ 与 $c$ 的标量乘法（数乘）是将 $\boldsymbol u$ 中的每个元素乘以 $c$，记为 $c \boldsymbol u$。其中数 $c$ 称为标量（或数）。例如
\begin{equation}
若\; \boldsymbol u = \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}, \; c= 5, \; 则 \;
c \boldsymbol u = 5 \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 15 \\ -5 \end{bmatrix}
\end{equation}
2. $\mathbb{R}^2$ 的几何表示
对于平面上的直角坐标系，平面上的每个点都由实数的有序对确定，可以把几何点 $(a, b)$ 与列向量 $\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 等同，因此可把 $\mathbb{R}^2$ 看做平面上所有点的集合。
向量加法的平行四边形法则 若 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 用平面上的点表示，则 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 对应于以 $\boldsymbol u$，$\boldsymbol 0$ 和 $\boldsymbol v$ 为三个顶点的平行四边形的第 4 个顶点。
3. $\mathbb{R}^3$ 中的向量
$\mathbb{R}^3$ 中的向量是 $3 \times 1$ 列的矩阵，有 3 个元素。它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头。
4. $\mathbb{R}^n$ 中的向量
若 $n$ 是正整数，则 $\mathbb{R}^n$ 表示所有 $n$ 个实数数列（或有序 $n$ 元组）的集合，通常写成 $n \times 1$ 列矩阵的形式，如：
\begin{equation}
\boldsymbol u =
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
\vdots \\
u_n
\end{bmatrix}
\end{equation}
所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\boldsymbol 0$ 表示，$\boldsymbol 0$ 中的元素个数可由上下文决定。
$\mathbb{R}^n$ 中向量代数的性质 对 $\mathbb{R}^n$ 中一切向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 以及标量 $c$ 和 $d$：
1. $\boldsymbol u + \boldsymbol v = \boldsymbol v + \boldsymbol u$
2. $(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)$
3. $\boldsymbol u + 0 = 0 + \boldsymbol u = \boldsymbol u$
4. $\boldsymbol u + (-\boldsymbol u) = -\boldsymbol u + \boldsymbol u = 0$，其中 $-\boldsymbol u$ 表示 $(-1)\boldsymbol u$
5. $c(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = c\boldsymbol u + c\boldsymbol v$
6. $(c + d)\boldsymbol u = c\boldsymbol u + d\boldsymbol u$
7. $c(d\boldsymbol u) = (cd)(\boldsymbol u)$
8. $1\boldsymbol u = \boldsymbol u$
5. 线性组合
给定 $\mathbb{R}^n$ 中向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 和标量 $c_1, c_2, \cdots, c_p$，向量
\begin{equation}
\boldsymbol y = c_1 \boldsymbol v_1 + \cdots c_p \boldsymbol v_p
\end{equation}
称为向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 以 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为权的线性组合。线性组合中的权可以是任意实数，包括零。
向量方程
\begin{equation}
x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n = \boldsymbol b
\end{equation}
和增广矩阵为
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \cdots & \boldsymbol a_n & \boldsymbol b \end{bmatrix} \tag{1}
\end{equation}
的线性方程组有相同的解集。特别地，$\boldsymbol b$ 可表示为 $\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \cdots, \boldsymbol a_n$ 的线性组合当且仅当对应于 $(1)$ 式的方程组有解。
线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 ${\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p}$ 的线性组合的所有向量。
定义 若 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 的所有线性组合所构成的集合用记号 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 表示，称为由 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^n$ 的子集，也就是说，$\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是所有形如
\begin{equation}
c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots c_p \boldsymbol v_p
\end{equation}
的向量的集合，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为标量。
要判断向量 $\boldsymbol b$ 是否属于 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，就是判断向量方程
\begin{equation}
x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol b
\end{equation}
是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix}\boldsymbol v_1 & \boldsymbol v_2 & \cdots & \boldsymbol v_p & \boldsymbol b\end{bmatrix}$ 的线性方程组是否有解。
6. $\textrm{Span}\{\boldsymbol v\}$ 与 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 的几何解释
设 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量，那么 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v\}$ 就是 $\boldsymbol v$ 的所有标量倍数的集合，也就是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的直线上的所有点的集合。
若 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的非零向量，且 $\boldsymbol v$ 不是 $\boldsymbol u$ 的倍数，则 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol u$，$\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的平面，特别地，$\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 包含 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol u$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线，也包含通过 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线。