线性代数 Cheat Sheet 1-1：线性方程组

Author: nex3z 2018-09-01

　　本系列为《线性代数及其应用（原书第 5 版）》（Linear Algebra and Its Application）中关键概念的整理，方便查用。

　　线性方程是形如

$$\begin{equation} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1} \end{equation}$$

的方程，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是变量；$b$ 与系数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是实数或复数，通常是已知的；下标 $n$ 可以是任意正整数。

　　一个或多个包含相同变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的线性方程组成线性方程组。线性方程组的一组解是一组数 $(s_1, s_2, \cdots, s_n)$，方程组所有可能的解的集合成为线性方程组的解集。若两个线性方程组具有相同的解集，则称这两个线性方程组是等价的。

　　线性方程组的解有以下三种情况：
1. 无解。
2. 有唯一解。
3. 有无穷多解。

　　若线性方程组有多于一个解，则称它是相容的；若无解，则称它是不相容的。

矩阵记号

　　一个线性方程组的主要信息可以用矩阵表示。例如对于如下的方程组

$$\begin{align} x_1 – 2x_2 + x_3 &= 0 \\ 2x_2 – 8x_3 &= 8 \\ 5x_1 – 5x_3 &= 10 \end{align}$$

将每一个变量的系数写在对齐的一列中，得到系数矩阵

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix} \end{equation}$$

将等号右边的值加到系数矩阵的右侧，得到增广矩阵

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{bmatrix} \end{equation}$$

　　矩阵的行数和列数称为矩阵的维数，一个 $m \times n$ 的矩阵是一个有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。

解线性方程组

　　解线性方程组的基本思路是，把方程组用一个更容易解的等价方程组（即有相同解集的方程组）代替。

　　矩阵的初等行变换包括：
1. （倍加变换）把某一行的倍数加到另一行上。
2. （对换变换）把两行互换。
3. （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以一个非零数。

　　行变换是可逆的。例如对于对换变换，若对两行进行对换变换，则再次对换这两行就会还原为原来的状态。

　　行变换可以用于任意矩阵，不限于线性方程组的增广矩阵。若一个矩阵可以通过一系列初等行变换变成另一个矩阵，则称两个矩阵是行等价的。

　　若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

存在与唯一性问题

　　线性方程组的两个基本问题是：
1. 方程组是否相容，即它是否至少有一个解？
2. 若有解，则解是否唯一？