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Think Bayes Note 7: 奥利弗的血迹

1. 问题描述

  在一个犯罪现场中,发现了两个人的血迹,其中一个是 O 型血(当地人口中有 60% 是 O 血型),另一个是 AB 型(当地人口中有 1% 是 AB 型)。现有一名嫌疑犯奥利弗是 O 型血,那么这些证据是否支持奥利弗是嫌疑犯(在现场留下血迹的人)?

2. 求解

  假设 HA 为奥利弗是嫌疑犯,HB 为奥利弗不是嫌疑犯。记 D 为现场发现了 O 型血和 AB 型血。由贝叶斯公式

P(H|D)=P(H)P(D|H)P(D)

可得 HAHB 后验概率的比值为:

P(HA|D)P(HB|D)=P(HA)P(D|HA)P(HB)P(D|HB)

  这里 HAHB 是互斥的,且 P(HB)=1P(HA),式 (2) 中的 P(HA)P(HB) 可以看做是 P(HA) 相对于 P(HB) 的胜率,这里记为 o(HA);同理,P(HA|D)P(HB|D) 可以看做是 P(HA|D) 相对于 P(HB|D) 的胜率,记为 o(HA|D),则式 (2) 变为:

o(HA|D)=o(A)P(D|HA)P(D|HB)

也可以写成:

o(HA|D)o(HA)=P(D|HA)P(D|HB)

  式 (4) 左边是后验概率和先验概率的比值,右边是似然比,也称贝叶斯因子。如果贝叶斯因子大于 1,则说明随着 D 的发生,HA 的胜率增加了,即 D 更可能支持假设 HA 而不是 HB;反之,如果贝叶斯因子小于 1,则说明数据更可能支持假设 HB 而不是 HA

  回到一开始的问题中,如果 HA 成立,即奥利弗是嫌疑犯,则现场的 O 型血迹来自奥利弗,AB 型血迹来自其他人。从当地人中任选一人,是 AB 型血的概率为 1%,故有:

P(D|HA)=1%

  如果 HB 成立,即奥利弗不是嫌疑犯,则现场的两个血迹都来自当地的其他人。从当地人中任选两人,第一个人是 O 型血、第二个人是 AB 型血,或者第一个人是 AB 型血、第二个人是 O 型血的概率为 A22×60%×1%=1.2%,故有:

P(D|HB)=1.2%

  将式 (5)、(6) 带入式 (4),得到:

o(HA|D)o(HA)=P(D|HA)P(D|HB)=1%1.2%=56

  可见 o(HA|D)o(HA) 的值小于 1,事件 D 不支持 HA,即这些证据没有支持奥利弗是嫌疑犯。