Think Bayes Note 4: 骰子问题

Author: nex3z 2018-07-27

1. 问题描述

　　有一盒骰子，里面有 4 面、6 面、8 面、12 面、20 面的骰子各 1 个。现从这盒骰子中随机选出一个，投掷得到了 6，求每个骰子被选中的概率是多少。

2. 推导求解

　　假设 $H_4$、$H_6$、$H_8$、$H_12$、$H_20$ 分别为选中了 4 面、6 面、8 面、12 面、20 面的骰子，记 $D$ 为投掷得到了 6。

　　认为每个骰子被选中的先验概率相同，即：

$$\begin{equation} H_4 = H_6 = H_8 =H_{12} = H_{20} = \frac{1}{5} \end{equation}$$

　　如果选中的是 4 面骰子，它不可能投出 6，故 $P(D|H_4) = 0$。如果选中的是 6 面骰子，它投出 6 的概率为 $\frac{1}{6}$，即 $P(D|H_6) = \frac{1}{6}$。以此类推，得到：

$$\begin{align} & P(D|H_4) = 0 \\ & P(D|H_6) = \frac{1}{6} \\ & P(D|H_8) = \frac{1}{8} \\ & P(D|H_{12}) = \frac{1}{12} \\ & P(D|H_{20}) = \frac{1}{20} \end{align}$$

　　由全概率公式，得到投出 6 的概率为：

$$\begin{align} P(D) &= \sum_{i = 4, 6, 8, 12, 20}P(H_i)P(D|H_i) \\ &= \frac{1}{5} \times 0 + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{8} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{12} +\frac{1}{5} \times \frac{1}{20} \\ &= \frac{17}{200} \end{align}$$

　　由贝叶斯公式，得到在投掷得到了 6 后，$i$ 面（$i = 4, 6, 8, 12, 20$）骰子被选中的概率为：

$$\begin{equation} P(H_i|D) = \frac{P(H_i)P(D|H_i)}{P(D)} \end{equation}$$

　　代入之前的计算结果，得到：

$$\begin{align} & P(H_4|D) = 0 \\ & P(H_6|D) = \frac{20}{51} \approx 0.3922 \\ & P(H_8|D) = \frac{5}{17} \approx 0.2941 \\ & P(H_{12}|D) = \frac{10}{51} \approx 0.1961 \\ & P(H_{20}|D) = \frac{2}{17} \approx 0.1176 \end{align}$$

3. 代码求解

　　定义 Dice 类如下：

class Dice(Suite):
    def likelihood(self, data, hypo):
        if hypo < data:
            return 0
        else:
            return 1.0 / hypo

其中 likelihood() 方法用于计算似然度，其参数 data 为投出的点数，参数 hypo 为假设选中的骰子的面数。如果投出的点数大于选中的骰子，此事件不可能发生，故返回 0；否则 hypo 面骰子投出 data 点数的概率为骰子面数分之一，返回 1.0 / hypo。

　　使用方法为：

dice = Dice([4, 6, 8, 12, 20])
dice.update(6)
dice.print()

输出为：

          prob
value         
4      0.00000
6      0.00000
8      0.96184
12     0.03753
20     0.00063

结果与前述分析相同。

4. 继续投掷

　　继续投掷骰子，得到点数 6、8、7、7、5、4，则此时每个骰子被选中的概率可以由如下代码计算：

for roll in [6, 8, 7, 7, 5, 4]:
    dice.update(roll)
dice.print()

输出为：

           prob
value          
4      0.000000
6      0.000000
8      0.943248
12     0.055206
20     0.001545