通过计算图求梯度下降中各偏导的推导

Author: nex3z 2017-08-30

　　在 Neural Networks and Deep Learning 课程的 Logistic Regression Gradient Descent 一节以逻辑回归为例，介绍了使用计算图（Computation Graph）求梯度下降中各偏导的方法，但没有给出具体的推导过程。

　　例子中模型为：

$$\begin{equation} z = w^Tx + b \tag{1} \end{equation}$$

　　预测为：

$$\begin{equation} \hat y = a = \sigma(z) \tag{2} \end{equation}$$

　　其中 $\sigma (z)$ 为 Sigmoid 函数：

$$\begin{equation} \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \tag{3} \end{equation}$$

　　损失函数为：

$$\begin{equation} L(a, y) = -(ylog(a) + (1 – y)log(1 – a)) \tag{4} \end{equation}$$

　　假设只有两个特征 $x_{1}$、$x_{2}$，则：

$$\begin{equation} w^T = \begin{bmatrix} w_{1} \ w_{2} \tag{5} \end{bmatrix} \end{equation}$$

　　运算图如图1所示：

　　反向计算各偏导的过程如下：

• 首先求得 $\frac{\partial L}{\partial a}$ 如下：

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial a} = – \frac{y}{a} + \frac{1 – y}{1 – a} \tag{6} \end{equation}$$

• 然后可以由链式法则求得 $\frac{\partial L}{\partial z}$ 如下：

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial z} = \frac{\partial L}{\partial a} \cdot \frac{da}{dz} \tag{7} \end{equation}$$

其中，$a = \sigma(z)$ 是 Sigmoid 函数，有：

$$\begin{equation} \frac{d\sigma(z)}{dz} = \sigma(z)(1 – \sigma(z)) \tag{8} \end{equation}$$

将式 (6)、(8) 带入式 (7)，得：

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial z} = (- \frac{y}{a} + \frac{1 – y}{1 – a}) \cdot a(1 – a) \ = -y(1 – a) + a(1 – y) \ = -y + a \tag{9} \end{equation}$$

• 最后求得 $\frac{\partial L}{\partial w_{1}}$、$\frac{\partial L}{\partial w_{2}}$ 和 $\frac{\partial L}{\partial b}$ 如下：

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial w_{1}} = \frac{\partial L}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial w_{1}} = \frac{\partial L}{\partial z} \cdot x_{1} \tag{10} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial w_{2}} = \frac{\partial L}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial w_{2}} = \frac{\partial L}{\partial z} \cdot x_{2} \tag{11} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial z} \tag{12} \end{equation}$$

　　这里 $\frac{\partial L}{\partial z}$ 不再展开。实际应用中，在由式 (9) 求得 $\frac{\partial L}{\partial z}$ 的值之后，就可以直接带入式 (10)、(11)、(12) 进行计算。