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线性代数 Cheat Sheet 4-1:向量空间与子空间

  定义 一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$,在这个集合上定义了两个运算,称为加法和标量乘法(标量取实数),服从以下公理(或法则),这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 及所有标量(或称数)$c$ 和 $d$ 均成立。 1. $\boldsymbol u, \boldsymbol v$…
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线性代数 Cheat Sheet 3-2:行列式的性质

  定理 3(行变换)令 $A$ 是一个方阵。 a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$,则 $\det B = det A$。 b. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$,则 $\det B = -\det A$。 c. 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 得到矩阵 $B$,则 $\det B = k \cdot \det A$。   若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为…
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线性代数 Cheat Sheet 2-7:计算机图形学中的应用

  计算机图形学中的图形变换是与矩阵乘法紧密联系的。但是,屏幕上的物品的平移并非线性变换,因此并不直接对应于矩阵乘法。避免这一困难的标准办法是引入齐次坐标。 1. 齐次坐标   $\mathbb{R}^2$ 中的每个点 $(x, y)$ 可以对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的点 $(x, y, 1)$,它们位于 $xy$ 平面上方 $1$ 单位的平面上。我们称 $(x, y)$ 有其次坐标…
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线性代数 Cheat Sheet 2-6:列昂惕夫投入产出模型

  设某国经济体系分为 $n$ 个部门,这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出。同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产商品或服务,仅仅消费商品或服务,设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量(或最终需求账单),它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
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线性代数 Cheat Sheet 2-5:矩阵因式分解

  矩阵 $A$ 的因式分解是把 $A$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。矩阵乘法是数据的综合,矩阵因式分解是数据的分解,分解后的结构可能更有用,或更便于计算。 1. LU 分解   设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,它可以行化简为阶梯形而不必进行行对换,则 $A$ 可写成形式 $A = LU$,$L$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵,主对角线元素全是 $1$,$U$ 是 $…
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