线性代数 Cheat Sheet 5-5:复特征值

  $n \times n$ 矩阵的特征方程含有 $n$ 次多项式,如果考虑复根,方程恰好有 $n$ 个根(重根重复计算)。对复特征值的研究能揭示矩阵中隐藏的信息,通常与周期、震动、旋转等问题相关。

  建立在 $\mathbb{R}^n$ 基础上的矩阵特征值-特征向量理论同样可以应用到 $\mathbb{C}^n$。因此,一个复数 $\lambda$ 满足 $\det(A – \lambda I) = 0$ 当且仅当在 $\mathbb{C}^n$ 中存在一个非零向量 $\boldsymbol x$,使得 $A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x$。我们称这样的 $\lambda$ 是(复)特征值,$\boldsymbol x$ 是对应于 $\lambda$ 的(复)特征向量

1. 向量的实部和虚部

  $\mathbb{C}^n$ 中复向量 $\boldsymbol x$ 的共轭向量 $\overline{\boldsymbol x}$ 也是 $\mathbb{C}^n$ 中的向量,它的分量是 $\boldsymbol x$ 中对应分量的共轭复数,向量 $\mathrm{Re}\; \boldsymbol x$ 和 $\mathrm{Im}\; \boldsymbol x$ 称为复向量 $\boldsymbol x$ 的实部虚部,分别由 $\boldsymbol x$ 的分量的实部和虚部组成。

  假设 $B$ 是可能有复元素的 $m \times n$ 矩阵,那么,以 $B$ 中元素的共轭复数为元素的矩阵记为 $\overline{B}$。复数的共轭运算性质对复矩阵代数亦成立:

\begin{equation}
\overline{r \boldsymbol x} = \bar{r} \bar{\boldsymbol x}, \; \overline{B \boldsymbol x} = \bar{B} \bar{\boldsymbol x}, \; \overline{BC} = \bar{B} \bar{C}, \; \overline{rB} = \bar{r} \bar{B}
\end{equation}

2. 作用于 $\mathbb{C}^n$ 上的实矩阵的特征值和特征向量

  设 $A$ 为 $n \times n$ 实矩阵,那么 $\overline{A \boldsymbol x} = \bar{A} \bar{\boldsymbol x} = A \bar{\boldsymbol x}$,假如 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值,$\boldsymbol x$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量,那么

\begin{equation}
A \bar{\boldsymbol x} = \overline{A \boldsymbol x} = \overline{\lambda \boldsymbol x} = \bar{\lambda} \bar{\boldsymbol x}
\end{equation}

故 $\bar{\lambda}$ 同样是 $A$ 的特征值,而 $\bar{\boldsymbol x}$ 是对应的特征向量。这表明,当 $A$ 是实矩阵时,它的复特征值以共轭复数对出现。这里用复特征值表示形如 $\lambda = a + b\mathrm{i} \; (b \neq 0)$ 的特征值。

  设 $C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$,其中 $a, b$ 为实数且不都等于零。那么 $C$ 的特征值是 $\lambda = a \pm b\mathrm{i}$。同样,假如 $r = |\lambda| = \sqrt{a^2 + b^2}$,那么

\begin{equation}
C = r \begin{bmatrix}a/r & -b/r \\ b/r & a/r \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & r\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}
\end{equation}

这里的 $\varphi$ 是正 $x$ 轴与 $(0, 0)$ 到 $(a, b)$ 射线的夹角,称为 $\lambda = a + b\mathrm{i}$ 的辐角。因此变换 $\boldsymbol x \mapsto C \boldsymbol x$ 可看做由旋转 $\varphi$ 角度和倍乘 $|\lambda|$ 变换复合而成。

  若 $A$ 是实矩阵,则 $A (\mathrm{Re}\; \boldsymbol x) = \mathrm{Re} A \boldsymbol x$ 和 $A (\mathrm{Im}\; \boldsymbol x) = \mathrm{Im} A \boldsymbol x$。若 $\boldsymbol x$ 是对应于复特征值的特征向量,则 $\mathrm{Re} \boldsymbol x$ 和 $\mathrm{Im} \boldsymbol x$ 是线性无关的。

  定理 9 设 $A$ 是 $2 \times 2$ 实矩阵,有复特征值 $\lambda = a – b \mathrm{i} \; (b \neq 0)$ 及对应的 $\mathbb{C}^2$ 中的复特征向量 $\boldsymbol v$,那么

\begin{equation}
A = PCP^{-1}, \; 其中 P = \begin{bmatrix}\mathrm{Re}\; \boldsymbol v & \mathrm{Im}\; \boldsymbol v \end{bmatrix}, \; C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}
\end{equation}

  在更高维矩阵中亦存在此情况。例如,若 $A$ 是由复特征值的 $3 \times 3$ 矩阵,那么在 $\mathbb{R}^3$ 中存在某个平面,$A$ 对平面的作用是旋转(可能还有倍乘),平面中每个向量被旋转到该平面的另一点上,我们称该平面在 $A$ 的作用下式不变的。

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