线性代数 Cheat Sheet 5-3:对角化

  如果一个方阵 $A$ 相似于对角阵,即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$,有 $A = PDP^{-1}$,则称 $A$ 可对角化

  定理 5(对角化定理)$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件时 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。事实上,$A = PDP^{-1}$,$D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。此时,$D$ 的主对角线上的元素分别是 $A$ 的对应于 $P$ 中特征向量的特征值。

  换句话说,$A$ 可对角化的充分必要条件时有足够的特征向量形成 $\mathbb{R}^n$ 的基,我们称这样的基为特征向量基

  若 $A = PDP^{-1}$,其中 $P$ 为可逆矩阵,$D$ 为对角矩阵,那么 $A^k$ 的计算也很简单:

\begin{equation}
A^k = (PDP^{-1})^k = PDP^{-1} PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} = PD^kP^{-1}
\end{equation}

1. 矩阵的对角化

  对角化可分为 4 步来完成:

  1. 求出 $A$ 的特征值。
  2. 求出 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。
  3. 用第 2 步得到的向量构造矩阵 $P$。
  4. 用对应的特征值构造矩阵 $D$。

  定理 6 有 $n$ 个相异特征值的 $n \times n$ 矩阵可对角化。

  不过,$n \times n$ 矩阵并不是必须有 $n$ 个相异的特征值才可对角化。

2. 特征值不都相异的矩阵

  如果 $n \times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值及相应的特征向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n$,若记 $P = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_n\end{bmatrix}$,那么由定理 2,$P$ 的列是线性无关的,自然 $P$ 是可逆的。当 $A$ 可对角化,但 $A$ 相异的特征值的个数少于 $n$ 时,我们仍可以用以下定理给出的方法来构造可逆矩阵 $P$。

  定理 7 设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵,其相异的特征值是 $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$。
a. 对于 $1 \leq k \leq p$,$\lambda_k$ 的特征空间的维数小于或等于 $\lambda_k$ 的代数重数。
b. 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为 $n$。即 (i) 特征多项式可以完全分解为线性因子,(ii) 每个 $\lambda_k$ 的特征空间的维数等于 $\lambda_k$ 的代数重数。
c. 若 $A$ 可对角化,$\mathcal{B}_k$ 是对应于 $\lambda_k$ 的特征空间的基,则集合 $\mathcal{B}_1, \cdots, \mathcal{B}_k$ 中所有向量的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的特征向量基。

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