线性代数 Cheat Sheet 5-2:特征方程

1. 行列式

  设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵,$U$ 是对 $A$ 作行替换和行交换(不做行倍乘)所得到的任一阶梯型矩阵,$r$ 是行交换的次数,那么 $A$ 的行列式 $\det A = (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn}$。如果 $A$ 可逆,那么 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 都是主元(因为 $A \sim I_n$ 且 $u_{ii}$ 没有归一化)。否则,至少有 $u_{nn}$ 为零,从而乘积 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 为零。因此

\begin{equation}
\det A = \begin{cases} (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn} & 当 A 可逆 \\ 0 & 当 A 不可逆\end{cases} \tag{1}
\end{equation}

  式 $(1)$ 说明 $A$ 是可逆的当且仅当 $\det A$ 非零。

  定理(可逆矩阵定理(续))设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵,则 $A$ 是可逆的当且仅当
s. $0$ 不是 $A$ 的特征值。
t. $A$ 的行列式不等于 $0$。

  定理 3(行列式的性质)设 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵。
a. $A$ 可逆的充要条件是 $\det A \neq 0$。
b. $\det AB = (\det A)(\det B)$。
c. $\det A^\mathsf{T} = \det A$。
d. 若 $A$ 是三角形矩阵,那么 $\det A$ 是 $A$ 主对角元素的乘积。
e. 对 $A$ 作行替换不改变其行列式的值。作一次行交换,行列式的值符号改变一次。数乘一行后,行列式值等于用此数乘原来的行列式值。

2. 特征方程

  利用定理 3(a),我们可以通过行列式来判断矩阵 $A – \lambda I$ 是否可逆。数值方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 称为 $A$ 的特征方程

  数 $\lambda$ 是 $n \times n$ 矩阵 $A$ 的特征值的充要条件是 $\lambda$ 是特征方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 的根。

  如果 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵,那么 $\det (A – \lambda I)$ 是 $n$ 次多项式,称为 $A$ 的特征多项式

  一般地,把特征值 $\lambda$ 作为特征方程根的重数称为 $\lambda$ 的(代数重数。因为 $n \times n$ 矩阵的特征方程包含有一个 $n$ 次多项式,所以如果算上重根,并允许有复根(称为复特征值),则特征方程恰好有 $n$ 个根。

3. 相似性

  假如 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵,如果存在可逆矩阵 $P$,使得 $P^{-1}AP= B$,或等价地 $A = PBP^{-1}$,则称$A$ 相似于 $B$。记 $Q = P^{-1}$,则有 $Q^{-1}BQ = A$,即 $B$ 也相似于 $A$。故我们简单说 $A$ 和 $B$ 是相似的。把 $A$ 变成 $P^{-1}AP$ 的变换称为相似变换

  定理 4 若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的,那么它们有相同的特征多项式,从而有相同的特征值(和相同的重数)。

  有相同特征值的两个矩阵不一定相似。相似和行等价是两个概念,对矩阵作行变换通常会改变矩阵的特征值。

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