线性代数 Cheat Sheet 4-6:秩

  设想一个填充满随机数的 $40 \times 50$ 矩阵 $A$,$A$ 中线性无关列的最大个数和 $A^\mathsf{T}$ 中线性无关列的最大个数($A$ 中线性无关行的最大个数)是相同的,这个公共值是矩阵 $A$ 的秩。

  若 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵,$A$ 的每一行具有 $n$ 个元素,可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量,其行向量的所有线性组合的集合称为 $A$ 的行空间,记为 $\mathrm{Row}\; A$。由于每一行具有 $n$ 个元素,所以 $\mathrm{Row}\; A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。因为 $A$ 的行与 $A^\mathsf{T}$ 的列相同,也可以用 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 代替 $\mathrm{Row}\; A$。

  定理 13 若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价,则它们的行空间相同。若 $B$ 是阶梯形矩阵,则 $B$ 的非零行构成 $A$ 的行空间的一个基,同时也是 $B$ 的行空间的一个基。

  注意上面定理中 “$B$ 的非零行”指的是 $B$ 本身的非零行,不是$B$ 非零行位置对应在 $A$ 中的行,因为对 $A$ 进行行变换会改变 $A$ 的行的相关关系。

  也可以利用 $A$ 的行求 $A$ 的行空间 $\mathrm{Row}\; A$ 的基:对 $A^\mathsf{T}$ 进行行化简(不改变 $A^\mathsf{T}$ 的列的相关关系),找到 $A^\mathsf{T}$ 的主元列,这些主元列是 $A$ 的行,构成 $A$ 的行空间的一个基。

  定义 $A$ 的即 $A$ 的列空间的维数。

  由于 $\mathrm{Row}\; A$ 与 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 相同,故 $A$ 的行空间的维数等于 $A^\mathsf{T}$ 的秩。

  定理 13(秩定理)$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等,这个公共的维数(即 $A$ 的秩)还等于 $A$ 中主元位置的个数,且满足方程

\begin{equation}
\mathrm{rank}\; A + \dim \mathrm{Nul}\; A = n
\end{equation}

  $\mathrm{Row}\; A$ 和 $\mathrm{Nul}\; A$ 的公共向量只有零向量,二者是相互“垂直”的。对 $\mathrm{Row}\; A^\mathsf{T}$($= \mathrm{Col}\; A$) 和 $\mathrm{Nul}\; A^\mathsf{T}$ 有同样的结果。

1. 秩和可逆矩阵定理

  定理(可逆矩阵定理(续))令 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵,则下列命题的每一个均等价于 $A$ 是可逆矩阵:
m. $A$ 的列构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基。
n. $\mathrm{Col}\; A = \mathbb{R}^n$。
o. $\dim \mathrm{Col}\; A = n$。
p. $\mathrm{rank}\; A = n$。
q. $\mathrm{Nul}\; A = {\boldsymbol 0}$。
r. $\dim \mathrm{Nul}\; A = 0$。

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