线性代数 Cheat Sheet 4-5:向量空间的维数

  定理 8 蕴含向量空间 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 个向量,则 $V$ 与 $\mathbb{R}^n$ 同构。数 $n$ 是 $V$ 的一个内在性质(称为维数),不依赖基的选择。

  定理 9 若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$,则 $V$ 中任意包含 $n$ 多于个向量的集合一定线性相关。

  定理 10 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量,则 $V$ 的每一组基一定恰好有 $n$ 个向量。

  如果一个非零向量空间 $V$ 由有限集 $S$ 生成,则由生成集定理,$S$ 的一个子集是 $V$ 的一个基。

  定义 若 $V$ 由一个有限集生成,则 $V$ 称为有限维的,$V$ 的维数写成 $\dim V$,是 $V$ 的基中向量的个数。零向量空间 $\{\boldsymbol 0\}$ 的维数定义为零。如果 $V$ 不是由有限集生成,则 $V$ 称为无穷维的

  $\mathbb{R}^n$ 的标准基含有 $n$ 个向量,所以 $\dim \mathbb{R}^n = n$。标准多项式基 $\{1, t, t^2\}$ 表明 $\dim P_2 = 3$。一般而言,$\dim P_n = n + 1$。所有多项式空间 $\mathbb{P}$ 是无穷维的。

  $\mathbb{R}^3$ 的子空间可以用维数分类:

  • 零维子空间:只有零子空间是零维子空间。
  • 一维子空间:任一由单一非零向量生成的子空间称为一维子空间,这样的子空间是经过原点的直线。
  • 二维子空间:任一由两个线性无关向量生成的子空间称为二维子空间,这样的子空间是经过原点的平面。
  • 三维子空间:只有 $\mathbb{R}^3$ 本身是三维子空间,由可逆矩阵定理,$\mathbb{R}^3$ 中任意 3 个线性无关的向量生成整个 $\mathbb{R}^3$。

1. 有限维空间的子空间

  定理 11 令 $H$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间,若有必要的话,$H$ 中任一个线性无关集均可以扩充成为 $H$ 的一个基。$H$ 也是有限维的,并且

\begin{equation}
\dim H \leq \dim V
\end{equation}

  定理 12(基定理)令 $V$ 是一个 $p$ 维向量空间,$p \geq 1$,$V$ 中任意含有 $p$ 个元素的线性无关集必然是 $V$ 的一个基。任意含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合自然是 $V$ 的一个基。

2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的维数

  $\mathrm{Nul}\; A$ 的维数是方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 中自由变量的个数,$\mathrm{Col}\; A$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数。

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