线性代数 Cheat Sheet 2-6:列昂惕夫投入产出模型

  设某国经济体系分为 $n$ 个部门,这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出。同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产商品或服务,仅仅消费商品或服务,设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量(或最终需求账单),它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、政府消费、超额生产、出口或其他外部需求。

  由于各部门生产商品以满足消费者需求,生产者本身创造了中间需求,需要这些产品作为生产部门的投入。

  假设对每个部门,$\mathbb{R}$ 中存在一个单位消费向量,它列出了该部门单位产出所需的投入。假设某一部门的单位消费向量为 $\boldsymbol c_1$,则该部门生产 $x_1$ 单位产品所需要消耗的中间需求是 $x_1 \boldsymbol c_1$。对于 $n$ 个部门的体系,记消耗矩阵 $C = \begin{bmatrix} \boldsymbol c_1 & \cdots \boldsymbol c_n\end{bmatrix}$。在通常情况下,某一消耗矩阵的列的和是小于 $1$ 的,因为一个部门要生产一单位产出所需投入的总价值应该小于 $1$。

  列昂惕夫投入产出模型或生产方程

\begin{equation}
\boldsymbol x = C \boldsymbol x + \boldsymbol d \tag{1}
\end{equation}

\begin{equation}
总产出 = 中间需求 + 最终需求
\end{equation}

可把式 $(1)$ 重写为

\begin{equation}
I \boldsymbol x – C \boldsymbol x = \boldsymbol d \\
(I – C) \boldsymbol x = \boldsymbol d
\end{equation}

在大部分实际情况中,$I – C$ 是可逆的,而且产出向量 $\boldsymbol x$ 是经济上可行的,即 $\boldsymbol x$ 中的元素时非负的。

  定理 11 设 $C$ 为某一经济体系的消耗矩阵,$\boldsymbol d$ 为最终需求。若 $C$ 和 $\boldsymbol d$ 的元素非负,$C$ 的每一列的和小于 $1$,则 $(I – C)^{-1}$ 存在,产出向量

\begin{equation}
\boldsymbol x = (I – C)^{-1} \boldsymbol d
\end{equation}

有非负元素,且是下列方程的唯一解:

\begin{equation}
\boldsymbol x = C \boldsymbol x + \boldsymbol d
\end{equation}

1. $(I – C)^{-1}$ 的公式

  假设年初各个部门制定了生产水平为 $\boldsymbol x = \boldsymbol d$ 的计划,它将恰好满足最终需求。各部门要产出 $\boldsymbol d$,需要投入中间需求 $C \boldsymbol d$,为满足 $C \boldsymbol d$ 的需求,又需要有额外 $C(C \boldsymbol d) = C^2 \boldsymbol d$ 的投入。以此类推,满足所有这些需求的生产水平是

\begin{equation}
\boldsymbol x = \boldsymbol d + C \boldsymbol d + C^2 \boldsymbol d + \cdots = (I + C + C^2 + \cdots)\boldsymbol d \tag{2}
\end{equation}

  由

\begin{equation}
(I – C)(I + C + C^2 + \cdots + C^m) = I – C^{m + 1}
\end{equation}

可以证明,若 $C$ 的列的和都严格小于 $1$,则 $I – C$ 是可逆的,当 $m \rightarrow \infty$ 时,$C^m \rightarrow 0$,而 $I – C^{m + 1} \rightarrow I$,此时有

\begin{equation}
(I – C)^{-1} \approx I + C + C^2 +\cdots + C^m \tag{3}
\end{equation}

即当 $m$ 充分大时,上式右边可以任意接近于 $(I – C)^{-1}$。

  在实际的投入产出模型中,消耗矩阵的幂迅速趋于 $0$,故 $(3)$ 实际上给出了一种计算 $(I – C)^{-1}$ 的方法。类似地,对于任意 $\boldsymbol d$,$C^m \boldsymbol d$ 迅速趋于零向量,而 $(2)$ 给出实际解 $(I – C)\boldsymbol x = \boldsymbol d$ 的方法。若 $C$ 和 $\boldsymbol d$ 中的元素时非负的,则 $(2)$ 说明 $\boldsymbol x$ 中的元素也是非负的。

2. $(I – C)^{-1}$ 中元素的经济重要性

  $(I – C)^{-1}$ 中的元素可以用来预计当最终需求 $\boldsymbol d$ 改变时,产出向量 $\boldsymbol x$ 如何改变。实际上,$(I – C)^{-1}$ 第 $j$ 列的元素表示当第 $j$ 个部门的最终需求增加 $1$ 单位时,各部门需要增加产出的数量。