线性代数 Cheat Sheet 2-2:矩阵的逆

  对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$,若存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $C$,使

\begin{equation}
CA = I \; 且 \; AC = I
\end{equation}

其中 $I = I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵,则称 $C$ 是 $A$ 的

  若 $A$ 可逆,则它的逆是唯一的,记为 $A^{-1}$。于是

\begin{equation}
A^{-1}A = I \; 且 \; AA^{-1} = I
\end{equation}

假设 $B$ 是 $A$ 的另外一个逆,那么将有 $B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C$。

  定理 4 设 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,若 $ad – bc \neq 0$,则 $A$ 可逆且

\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}
\end{equation}

若 $ad – bc = 0$,则 $A$ 不可逆。

  将数 $ad – bc$ 称为 $A$ 的行列式,记为

\begin{equation}
\det A = ad – bc
\end{equation}

定理 4 说明,$2 \times 2$ 的矩阵 $A$ 可逆,当且仅当 $\det A \neq 0$。

  定理 5 若 $A$ 是可逆 $n \times n$ 矩阵,则对每一 $\mathbb{R}^n$ 中的 $\boldsymbol b$,方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 有唯一解 $\boldsymbol x = A^{-1} \boldsymbol b$。

  定理 6
a. 若 $A$ 是可逆矩阵,则 $A^{-1}$ 也可逆而且 $(A^{-1})^{-1} = A$。
b. 若 $A$ 和 $B$ 都是 $n \times n$ 可逆矩阵,则 $AB$ 也可逆,且其逆是 $A$ 和 $B$ 的逆矩阵按相反顺序的乘积,即 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
c. 若 $A$ 可逆,则 $A^\mathsf{T}$ 也可逆,且其逆是 $A^{-1}$ 的转置,即 $(A^\mathsf{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathsf{T}$。

  定理 6b 可以通过矩阵的逆的定义来证明。$AB$ 的逆应具有这样的性质:它左乘或右乘 $AB$ 都得到单位矩阵 $I$。而 $B^{-1}A^{-1}$ 就具有这种性质,故$B^{-1}A^{-1}$ 是 $AB$ 的逆。

  定理 6b 可推广为:若干个 $n \times n$ 可逆矩阵的积也是可逆的,其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积。

初等矩阵

  把单位矩阵进行一次初等行变换,就得到初等矩阵

  若对 $m \times n$ 矩阵 $A$ 进行某种初等行变换,所得矩阵可写成 $EA$,其中 $E$ 是 $m \times m$ 矩阵,是由 $I_m$ 进行同一行变换所得。

  每个初等矩阵 $E$ 是可逆的,$E$ 的逆是一个同类型的初等矩阵,它把 $E$ 变回 $I$。

  因为行变换是可逆的,故初等矩阵也是可逆的。若 $E$ 是由 $I$ 进行行变换所得,则一定有同一类型的另一行变换把 $E$ 变回 $I$,即有初等矩阵 $F$ 使得 $FE = I$,因为 $E$ 和 $F$ 对应于互逆的变换,所以也有 $EF = I$。

  定理 7 $n \times n$ 矩阵 $A$ 是可逆的,当且仅当 $A$ 行等价于 $I_n$,这时,把 $A$ 化简为 $I_n$ 的一系列初等行变换同时把 $I_n$ 变成 $A^{-1}$。

求 $A^{-1}$ 的算法

  把增广矩阵 $\begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}$ 进行行化简,若 $A$ 行等价于 $I$,则 $\begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}$ 行等价于 \begin{bmatrix} I & A \end{bmatrix}$,否则 $A$ 没有逆。

逆矩阵的另一个观点

  用 $\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n$ 表示 $I_n$ 的各列,则把 $\begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}$ 行化简为 $\begin{bmatrix} I & A \end{bmatrix}$ 的过程可看作解 $n$ 个方程组

\begin{equation}
A \boldsymbol x = \boldsymbol e_1, \; A \boldsymbol x = \boldsymbol e_2, \cdots, A \boldsymbol x = \boldsymbol e_n \tag{1}
\end{equation}

将这些方程组的“增广列”依次放在 $A$ 的右边,构成矩阵

\begin{equation}
\begin{bmatrix} A & \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \cdots & \boldsymbol e_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & I\end{bmatrix}
\end{equation}

由 $AA^{-1} = I$ 和矩阵乘法的定义,可知 $A^{-1}$ 的各列正式方程组 $(1)$ 的解。如果只需求 $A^{-1}$ 的少数几列,则解方程组 $(1)$ 更快。

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