线性代数 Cheat Sheet 1-6:线性无关

  定义 对于 $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$,若向量方程

\begin{equation}
x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1}
\end{equation}

仅有平凡解,则称该向量组(集)是线性无关的。若存在不全为零的权 $c_1, \cdots, c_p$,使

\begin{equation}
c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{2}
\end{equation}

则称该向量组(集)是线性相关的。方程 (2) 称为向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 之间的线性相关关系

矩阵各列的线性无关

  对于矩阵 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_n \end{bmatrix}$,矩阵方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 可以写成

\begin{equation}
x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n = \boldsymbol 0
\end{equation}

$A$ 的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的一个非平凡解,因此有:

  矩阵 $A$ 的各列线性无关,当且仅当方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。

一个或两个向量的集合

  两个向量的集合 $\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}$ 线性相关,当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数;这个集合线性无关,当且仅当其中一个向量不是另一个向量的倍数。

两个或更多向量的集合

  定理 7(线性相关集的特征) 两个或更多个向量的集合 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上,若 $S$ 线性相关,且 $\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$,则某个 $\boldsymbol v_j$($j > 1$)是它前面几个向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$ 的线性组合。

  注意线性相关集中的每一个向量不一定都是其他向量的线性组合。

  定理 8 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关。即对于 $\mathbb{R}^n$ 中任意向量组 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$,当 $p > n$ 时线性相关。

  定理 9 若向量组 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 包含零向量,则它线性相关。

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