线性代数 Cheat Sheet 1-5:线性方程组的解集

齐次线性方程组

  若线性方程可以写成 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的形式,则称该线性方程组是齐次的。其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,$\boldsymbol 0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解,即 $\boldsymbol x = \boldsymbol 0$($\mathbb{R}^n$ 中的零向量),这个解称为它的平凡解。满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的非零向量 $\boldsymbol x$ 称为 非平凡解

  齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 有非平凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量。因为由前述定理 2 可知,对于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$,当它没有自由变量时,有唯一解,即平凡解;当它至少有一个自由变量时,有无穷多解,此时才会存在非平凡解。

参数向量形式

  对于齐次方程组

\begin{equation}
10x_1 – 3x_2 – 2x_3 = 0 \tag{1}
\end{equation}

通解为

\begin{equation}
x_1 = 0.3x_2 + 0.2x_3
\end{equation}

写成向量的形式,通解为

\begin{equation}
\boldsymbol x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0.3x_2 + 0.2x_3 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0.3x_2 \\
x_2 \\
0
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0.2x_3 \\
0 \\
x_3
\end{bmatrix} = x_2
\begin{bmatrix}
0.3 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} + x_3
\begin{bmatrix}
0.2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \tag{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\boldsymbol u =
\begin{bmatrix}
0.3 \\
1 \\
0
\end{bmatrix},
\boldsymbol v =
\begin{bmatrix}
0.2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
\boldsymbol x = x_2 \boldsymbol u + x_3 \boldsymbol v
\end{equation}

  可见,方程 (1) 的每个解都是向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 的线性组合,解集为 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$。因为 $\boldsymbol u$ 不是 $\boldsymbol v$ 的倍数,解集是通过原点的一个平面。

  式 (2) 称为平面的参数向量方程,可写为

\begin{equation}
\boldsymbol x = s \boldsymbol u + t \boldsymbol v
\end{equation}

的形式,其中 $s$ 和 $t$ 为实数。当使用向量的形式来显式地表示解集时,称之为解的参数向量形式

非齐次方程组的解

  定理 6 设方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 对某个 $\boldsymbol b$ 是相容的,$\boldsymbol p$ 为一个特解,则 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的解集是所有形如 $\boldsymbol w = \boldsymbol p + \boldsymbol v_h$ 的向量的集,其中 $\boldsymbol v_h$ 是齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的任意一个解。

  把(相容方程组的)解集表示成参数向量形式:
1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形。
2. 用自由变量表示每个基本变量。
3. 把一般解 $\boldsymbol x$ 表示成向量,如果有自由变量,其元素依赖于自由变量。
4. 把 $\boldsymbol x$ 分解为元素为常数的向量的线性组合,用自由变量作为参数。

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