线性代数 Cheat Sheet 1-3:向量方程

$\mathbb{R}^2$ 中的向量

  仅含一列的矩阵称为列向量,简称向量,如:

\begin{equation}
\boldsymbol u =
\begin{bmatrix}
3 \\
-1
\end{bmatrix},
\boldsymbol v = \begin{bmatrix}
0.2 \\
0.3
\end{bmatrix},
\boldsymbol w = \begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2
\end{bmatrix}
\end{equation}

其中 $w_1$ 和 $w_2$ 是任意实数。所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^2$,$\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数,角标 $2$ 表示每个向量包含两个元素。

  $\mathbb{R}^2$ 中的两个向量相等当且仅当其对应元素相等。

  给定 $\mathbb{R}^2$ 中的两个向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$,它们的 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 是把 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 中对应元素相加所得的向量。例如,

\begin{equation}
\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2 \\ -2 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}
\end{equation}

  给定向量 $\boldsymbol u$ 和实数 $c$,$\boldsymbol u$ 与 $c$ 的标量乘法数乘)是将 $\boldsymbol u$ 中的每个元素乘以 $c$,记为 $c \boldsymbol u$。其中数 $c$ 称为标量(或)。例如,

\begin{equation}
若\; \boldsymbol u = \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}, \; c= 5, \; 则 \;
c \boldsymbol u = 5 \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 15 \\ -5 \end{bmatrix}
\end{equation}

$\mathbb{R}^2$ 的几何表示

  对于平面上的直角坐标系,平面上的每个点都由实数的有序对确定,可把几何点 $(a, b)$ 与列向量 $\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 等同,因此可把 $\mathbb{R}^2$ 看做平面上所有点的集合。

  向量加法的平行四边形法则 若 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 用平面上的点表示,则 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 对应于以 $\boldsymbol u$,$\boldsymbol 0$ 和 $\boldsymbol v$ 为三个顶点的平行四边形的第 4 个顶点。

$\mathbb{R}^3$ 中的向量

  $\mathbb{R}^3$ 中的向量是 $3 \times 1$ 列的矩阵,有 3 个元素。它们表示三维坐标空间中的点,或起点为原点的箭头。

$\mathbb{R}^n$ 中的向量

  若 $n$ 是正整数,则 $\mathbb{R}^n$($n$ 为正整数)表示所有 $n$ 个实数数列(或有序 $n$ 元组)的集合,通常携程 $n \times 1$ 列矩阵的形式,如:

\begin{equation}
\boldsymbol u =
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
\vdots \\
u_n
\end{bmatrix}
\end{equation}

  所有元素都是零的向量称为零向量,用 $\boldsymbol 0$ 表示,$\boldsymbol 0$ 中的元素个数由上下文决定。

  $\mathbb{R}^n$ 中向量代数的性质

  1. $\boldsymbol u + \boldsymbol v = \boldsymbol v + \boldsymbol u$
  2. $(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol v + (\boldsymbol u + \boldsymbol w)$
  3. $\boldsymbol u + 0 = 0 + \boldsymbol u = \boldsymbol u$
  4. $\boldsymbol u + (-\boldsymbol u) = -\boldsymbol u + \boldsymbol u$
  5. $c(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = c\boldsymbol u + c\boldsymbol v$
  6. $(c + d)\boldsymbol u = c\boldsymbol u + d\boldsymbol u$
  7. $c(d\boldsymbol u) = (cd)(\boldsymbol u)$
  8. $1\boldsymbol u = \boldsymbol u$

线性组合

  给定 $\mathbb{R}^n$ 中向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 和标量 $c_1, c_2, \cdots, c_p$,向量

\begin{equation}
\boldsymbol y = c_1 \boldsymbol v_1 + \cdots c_p \boldsymbol v_p
\end{equation}

称为向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 以 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为线性组合

  向量方程

\begin{equation}
x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n = \boldsymbol b
\end{equation}

和增广矩阵为

\begin{equation}
\begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \cdots & \boldsymbol a_n & \boldsymbol b \end{bmatrix} \tag{1}
\end{equation}

的线性方程组有相同的解集。特别地,$\boldsymbol b$ 可表示为 $\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \cdots, \boldsymbol a_n$ 的线性组合,当且仅当对应于 (1) 式的方程组有解。

  定义 若 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量,则 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 的所有线性组合所构成的集合用记号 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 表示,称为由 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 所生成(或张成)的 $\mathbb{R}^n$ 的子集,也就是说,$\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是所有形如

\begin{equation}
c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots c_p \boldsymbol v_p
\end{equation}

的向量的集合,其中 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为标量。

  要判断向量 $\boldsymbol b$ 是否属于 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$,就是判断向量方程

\begin{equation}
x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol b
\end{equation}

是否有解,或等价地,判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix} & \boldsymbol v_1 & \boldsymbol v_2 & \cdots & \boldsymbol v_p & \boldsymbol b \end{bmatrix}$ 的线性方程组是否有解。

$\textrm{Span}\{\boldsymbol v\}$ 与 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 的几何解释

  设 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量,那么 $\textrm{Span}\{\boldsymbol v\}$ 就是 $\boldsymbol v$ 的所有数量倍数的集合,也就是通过 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的直线上的所有点的集合,包含零向量。

若 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的非零向量,且 $\boldsymbol v$ 不是 $\boldsymbol u$ 的倍数,则 $\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol u$,$\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的平面,特别地,$\textrm{Span}\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 包含 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol u$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线,也包含通过 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线。

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