线性代数 Cheat Sheet 1-2:行化简与阶梯形矩阵

  矩阵中至少包含一个非零元素的行称为非零行,非零行中最左边的元素称为先导元素

  定义 若矩阵具有以下三个性质:

  1. 每一非零行在每一零行之上。
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的后面。
  3. 某一先导元素所在列的下方的元素都是零。

则称该矩阵为阶梯形(或行阶梯形)矩阵。若一个阶梯形矩阵还满足以下性质:

  1. 每一非零行的先到元素都是 1。
  2. 每一先导元素 1 是该元素所在列中唯一的非零元素。

则称该矩阵为简化阶梯形(或简化行阶梯形)矩阵。

  一个矩阵可以行化简(即通过初等行变换)变为阶梯形矩阵,但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵。一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

  定理 1 (简化阶梯形矩阵的唯一性)每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

主元位置

  当矩阵从阶梯形化为简化阶梯形,先导元素的位置不变。故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时,先导元素总是在相同的位置上,对应于简化阶梯形中的先导元素 1。

  定义 在矩阵所对应阶梯形中先导元素的位置称为主元位置。含有主元位置的列称为**主元列

行化简算法

  行化简算法的步骤如下:

  1. 由最左的非零列开始,找到一个最左侧的先导元素作为主元。
  2. 通过对换变换将该元素所在行移动到第一行。
  3. 通过倍加变换将主元下面的元素变为 0。
  4. 将剩下的行看做一个子矩阵,在其上应用以上三个步骤,直到没有非零行为止。
  5. 由最右边的主元开始,把每个主元上方的各元素变为 0,并通过倍乘变换将该主元变成 1。

以上 1~4 步称为前向步骤,得到阶梯形矩阵;第 5 步称为后向步骤,得到。

  在第 1 步中,计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元,以减少计算中的舍入误差,称为部分主元法

线性方程组的解

  对线性方程组的增广矩阵进行行化简,可以得到方程组解集的一种表示方法。对于如下增广矩阵:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -5 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

对应的线性方程组为:

\begin{align}
x_1 – 5x_3 &= 1 \\
x_2 + x_3 &= 4 \\
0 &= 0
\end{align}

  对应于主元列的变量 $x_1$ 和 $x_2$ 称为基本变量,其他变量如 $x_3$ 称为自由变量。用自由变量表示基本变量,得到该方程组的解集:

\begin{equation}
\begin{cases}
x_1 = 1 + 5x_3 \\
x_2 = 4 – x_3 \\
x_3 是自由变量
\end{cases} \tag{1}
\end{equation}

上面的解称为方程组的通解,它给出了所有解的显式表示。

解集的参数表示

  解集的表示式 (1) 中自由变量作为参数,称为解集的参数表示。解方程组就是要求出解集的这种参数表示,或确定它无解。

  当一个方程组相容且具有自由变量时,它的解集具有多种参数表示,通常使用自由变量作为参数来表示解集。当方程组不相容时,无论方程组是否有自由变量,解集是空集。

存在与唯一性问题

  定理 2(存在与唯一性定理)线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列,即增广矩阵的阶梯形没有形如

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & b
\end{bmatrix}
,\; b \neq 0
\end{equation}

的行,若线性方程组相容,它的解集可能有两种情况:(i) 当没有自由变量时,有唯一解;(ii) 当至少有一个自由变量时,有无穷多解。

  通过行化简解线性方程组的步骤:

  1. 写出方程组的增广矩阵。
  2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形,确认方程组是否有解,若无解则停止,否则进行下一步。
  3. 继续行化简算法得到简化阶梯形。
  4. 写出由第 3 步得到矩阵所对应的方程组。
  5. 把第 4 步得到的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式。

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