线性代数 Cheat Sheet 1-1:线性方程组

本系列为《线性代数及其应用(原书第 5 版)》(Linear Algebra and Its Application)中关键概念的整理,方便差用。

  线性方程是形如

\begin{equation}
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1}
\end{equation}

的方程,其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是变量;$b$ 与系数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是实数或复数,通常是已知的;下标 $n$ 可以是任意正整数。

  一个或多个包含相同变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的线性方程组成线性方程组。线性方程组的一组是一组数 $s_1, s_2, \cdots, s_n$,方程组所有可能的解的集合成为线性方程组的解集。若两个线性方程组具有相同的解集,责成这两个线性方程组是等价的。

  线性方程组的解有以下三种情况:

  1. 无解。
  2. 有唯一解。
  3. 有无穷多解。

若线性方程组有多于一个解,则称它是相容的;若无解,则称它是不相容的

矩阵记号

  一个线性方程组的主要信息可以用矩阵表示。例如对于如下的方程组

\begin{align}
x_1 – 2x_2 + x_3 &= 0 \\
2x_2 – 8x_3 &= 8 \\
5x_1 – 5x_3 &= 10 \tag{2}
\end{align}

将每一个变量的系数写在对齐的一列中,得到系数矩阵

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
0 & 2 & -8 \\
5 & 0 & -5
\end{bmatrix}
\end{equation}

将等号右边的值加到系数矩阵的右侧,得到增广矩阵

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 2 & -8 & 8\\
5 & 0 & -5 & 10
\end{bmatrix}
\end{equation}

  矩阵的行数和列数称为矩阵的维数,一个 $m \times n$ 的矩阵是一个有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。

解线性方程组

  矩阵的初等行变换包括:

  1. (倍加变换)把某一行的倍数加到另一行上。
  2. (对换变换)把两行互换。
  3. (倍乘变换)把某一行的所有元素乘以一个非零数。

  行变换是可逆的。

  行变换可以同于任意矩阵,不限于线性方程组的增广矩阵。若一个矩阵可以通过一系列初等行变换变成另一个矩阵,则称两个矩阵是行等价的

  若两个线性方程组的增广矩阵是等价的,则它们具有相同的解集。

存在与唯一性问题

  线性方程组的两个基本问题是:

  1. 方程组是否相容,即它是否至少有一个解?
  2. 若有解,则解是否唯一?

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